¿Qué significa realmente "la cuantización no es un functor"?

Question

Las respuestas a esta pregunta hacen un buen trabajo explorando, a nivel heurístico, lo que debería ser la "cuantificación". Desde mi punto de vista, la cuantización consiste en sustituir un álgebra de Poisson (conmutativa) por alguna álgebra asociativa no conmutativa relacionada. Las álgebras de Poisson surgen de forma natural especialmente como álgebras de funciones en geometría y física. Las álgebras no conmutativas surgen naturalmente como álgebras de operadores en espacios lineales.

A menudo he oído decir que "la cuantización no es un functor". Me pregunto cuál es una declaración precisa de esto.

Por ejemplo, podría imaginar declaraciones de la siguiente forma.

1. No existe ningún functor de la categoría de las variedades de Poisson (¿y de los mapas de Poisson?) a la categoría (opuesta a la) de las álgebras asociativas que satisfaga alguna propiedad agradable.
2. No existe ningún functor de la categoría de las variedades simplécticas (¿y de los mapas de Poisson?) a la categoría (opuesta a la) de las álgebras asociativas que satisfaga alguna propiedad agradable.
3. Recordemos que para cualquier variedad lisa, su haz cotangente es naturalmente simpléctico. No hay ningún functor de la categoría de las variedades lisas a la categoría de las álgebras asociativas que cuantifique el haz cotangente.
4. Recordemos que el dual del álgebra envolvente universal de una bialgebra de Lie es naturalmente Poisson Hopf. No existe ningún functor de la categoría de las bialgebras de Lie a la categoría de las álgebras de Hopf que satisfaga alguna propiedad agradable.

En realidad, 4. es falso. De hecho, Etingof y Khazdan construyeron un functor de las bialgebras a las álgebras de Hopf que satisface una serie de propiedades, y Enríquez clasificó todas las que tenían buenas propiedades. Obsérvese que Kontsevich da una cuantización de cualquier variedad de Poisson, pero ¿quizás no es functorial?

Answer 1

Ciertamente, si no se trata sólo de la cuantización de la deformación, no hay una manera razonable de hacer un functor que cree cada objeto cuántico a partir de un objeto clásico. No se me ocurre una obstrucción rigurosa de antemano, pero por ejemplo hay una gran variedad de $C^*$ -algebras, que son espacios Hausdorff compactos cuánticos, que no se parecen en nada a los espacios Hausdorff clásicos. Por poner otro ejemplo, es técnicamente cierto que existe un functor de conjuntos finitos a la versión cuántica, las álgebras matriciales de dimensión finita. Pero este functor está tan alejado de un isomorfismo de categorías, utilizando operadores unitarios o mapas completamente positivos en el caso cuántico, que no tiene sentido. Un famoso descubrimiento es que las álgebras matriciales tienen más poder de cálculo (cálculo cuántico) que los conjuntos finitos o los espacios probabilísticos finitos (cálculo clásico). Si un functor de cuantización es suryectivo sobre los objetos, pero dista mucho de ser suryectivo sobre los morfismos, entonces ése es un segundo nivel en el que "la cuantización no es un functor".

Aquí hay un punto relacionado que puede ser de algún interés. En algunos casos importantes, un objeto cuántico no es lo mismo que un objeto clásico definido en la categoría cuántica. En particular, un grupo cuántico, definido propiamente como un álgebra de Hopf, no es un objeto grupal. Un álgebra de Hopf conmutativa es realmente un objeto de grupo en la categoría inversa de las álgebras conmutativas. En otras palabras, un objeto de grupo en la categoría de los esquemas afines es un esquema afín cuyo anillo de coordenadas es un anillo de Hopf. Lo mismo ocurre con las álgebras de Hopf conmutativas graduadas. Pero un álgebra de Hopf general es una bestia diferente, porque el producto tensorial de las álgebras no conmutativas no es un coproducto en el sentido de la teoría de categorías.

No obstante, el producto tensorial es el equivalente cuántico ortodoxo de un coproducto, y un álgebra de Hopf es el equivalente cuántico ortodoxo de un grupo. En la probabilidad libre, se sustituye el producto tensorial por un producto libre, y eso es perfectamente interesante, pero es una modificación de la probailidad cuántica estándar. No estoy seguro de que haya una buena manera de explicar la diferencia entre el producto cuántico ortodoxo y el coproducto categórico. (Quizá no haya realmente nada que explicar.) Bueno, una característica importante es que los axiomas del álgebra de Hopf son autoduales.