¿Qué significa realmente "la cuantización no es un functor"?

Question

Las respuestas a esta pregunta hacen un buen trabajo explorando, a nivel heurístico, lo que debería ser la "cuantificación". Desde mi punto de vista, la cuantización consiste en sustituir un álgebra de Poisson (conmutativa) por alguna álgebra asociativa no conmutativa relacionada. Las álgebras de Poisson surgen de forma natural especialmente como álgebras de funciones en geometría y física. Las álgebras no conmutativas surgen naturalmente como álgebras de operadores en espacios lineales.

A menudo he oído decir que "la cuantización no es un functor". Me pregunto cuál es una declaración precisa de esto.

Por ejemplo, podría imaginar declaraciones de la siguiente forma.

1. No existe ningún functor de la categoría de las variedades de Poisson (¿y de los mapas de Poisson?) a la categoría (opuesta a la) de las álgebras asociativas que satisfaga alguna propiedad agradable.
2. No existe ningún functor de la categoría de las variedades simplécticas (¿y de los mapas de Poisson?) a la categoría (opuesta a la) de las álgebras asociativas que satisfaga alguna propiedad agradable.
3. Recordemos que para cualquier variedad lisa, su haz cotangente es naturalmente simpléctico. No hay ningún functor de la categoría de las variedades lisas a la categoría de las álgebras asociativas que cuantifique el haz cotangente.
4. Recordemos que el dual del álgebra envolvente universal de una bialgebra de Lie es naturalmente Poisson Hopf. No existe ningún functor de la categoría de las bialgebras de Lie a la categoría de las álgebras de Hopf que satisfaga alguna propiedad agradable.

En realidad, 4. es falso. De hecho, Etingof y Khazdan construyeron un functor de las bialgebras a las álgebras de Hopf que satisface una serie de propiedades, y Enríquez clasificó todas las que tenían buenas propiedades. Obsérvese que Kontsevich da una cuantización de cualquier variedad de Poisson, pero ¿quizás no es functorial?

Answer 1

Se trata de explicar un poco más algunas de las cosas que ya se han mencionado antes.

La cuantificación de las bialgebras de Lie es, en efecto, un functor, como se demostró en mi trabajo con Kazhdan. Sin embargo, la cuantización por deformación de Konstevich o Fedosov no son funtores en este sentido. De hecho, ni siquiera existe una cuantización de deformación functorial del plano simpléctico, que a veces se denomina "teorema de Groenewald-van Hove", mencionado en una de las respuestas anteriores. La esencia de este teorema es que no hay manera de cuantizar el plano simpléctico preservando todas sus simetrías, es decir, los difeomorfismos simplécticos. Hablando algebraicamente, el álgebra de Lie de las simetrías infinitesimales del plano simpléctico es $L_0=C^\infty(\Bbb R^2)/\Bbb R$ y el álgebra de Lie de las simetrías de la cuantización (digamos, Moyal) es el cociente del álgebra cuantizada por su centro, $L=C^\infty(\Bbb R^2)[[h]]_\ast/\Bbb R[[h]]$ , con soporte $[a,b]:=(a\ast b-b\ast a)/h$ . Ahora, $L$ es una deformación plana de $L_0$ pero el punto clave es que es ${\bf nontrivial}$ . Esta no trivialidad (que es la esencia del teorema de Groenewald-van Hove) es la obstrucción a la existencia de un functor de cuantificación.

Sin embargo, como se mencionó en una respuesta anterior, un asociador de Drinfeld da, según Tamarkin, un mapa entre conjuntos de clases de isomorfismo de estructuras de Poisson y productos estrella (que no es un functor, sin embargo, ya que hemos modulado por automorfismos).

Answer 2

Aquí hay una declaración precisa de cómo la cuantificación no es un functor:

5) No hay ningún functor de la categoría clásica $\mathcal C$ de las variedades de Poisson y los mapas de Poisson a la categoría cuántica $\mathcal Q$ de los espacios de Hilbert y los operadores unitarios que es consistente con el haz cotangente/ $\frac12$ -relación de densidad (explicada a continuación).

El resultado se debe a Van Hove, en "Sur le probleme des relations entre les transformations unitaires de la mecanique quantique et les transformations canoniques de la mecaniques classique". Es un artículo antiguo y no encuentro un enlace para él, pero la referencia en la que lo encontré es "Lectures on Symplectic Manifolds" de Weinstein.

Por "haz cotangente/ $\frac12$ -relación de densidad" me refiero a lo siguiente: si $\mathcal M$ es la categoría de variedades suaves y difeomorfismos, tenemos un functor cotangente $\mathcal M \to \mathcal C$ . Esto asigna a cada variedad su haz cotangente con la estructura simpléctica canónica, y a cada difeomorfismo el simplectomorfismo inducido de haces cotangentes.

También tenemos un functor natural $\mathcal M \to \mathcal Q$ . Para cualquier colector liso $X$ considerar el haz de complejos $\frac12$ -densidades en $X$ . (¿Cuál es el haz de complejos $s$ -¿densidad? Bueno, la fibra sobre un punto $x \in X$ es el conjunto de funciones $\delta_x: \bigwedge^{top} T_xX \to \mathbb{C}$ tal que $\delta(cv) = |c|^{s}\delta(v)$ .) Si $\delta^1$ y $\delta^2$ son suaves y compactos $\frac12$ -y su producto puntual $\delta^1 \bar{\delta^2}$ es una densidad 1 con soporte compacto que podemos integrar para obtener un número complejo. Esto convierte el espacio de todas esas secciones en un espacio pre-Hilbert, cuya terminación es lo que nuestro functor asigna a la variedad $X$ . Como era de esperar, la naturaleza canónica de la construcción nos permite asignar operadores unitarios entre espacios de Hilbert a difeomorfismos entre variedades lisas, por lo que es functorial.

(Nota: Si elegimos una forma de volumen en $X$ el procedimiento anterior produce algo isomorfo con el espacio de $L^2$ funciones en $X$ con respecto a esta forma, pero para obtener algo functorial queremos una construcción canónica).

A partir de este par de funtores $\mathcal M \to \mathcal C$ y $\mathcal M \to \mathcal Q$ obtenemos un functor producto $\mathcal M \to \mathcal{C} \times \mathcal{Q}$ . La imagen de este functor es una subcategoría de $\mathcal C \times \mathcal Q$ que llamaremos "haz cotangente". $\frac12$ -relación de densidad". (La palabra relación se entiende en el mismo sentido que una relación ordinaria entre dos conjuntos es un subconjunto de su producto).

Ahora podemos aclarar lo que significa nuestra afirmación original: no hay ningún functor $\mathcal C \to \mathcal Q$ cuyo gráfico contiene el haz cotangente/ $\frac12$ -relación de densidad. Las razones por las que esto es una condición deseable vienen de la física y están más allá de mí, pero a grandes rasgos creo que el punto es que existe una buena idea de lo que un functor de cuantificación se supone que hace a los haces cotangentes.

Answer 3

Un prop P es una categoría monoidal simétrica cuyos objetos son los enteros no negativos, con producto tensorial definido como suma de enteros (así que moralmente es un solo objeto V, el objeto unidad, y varias potencias de V; así que son los morfismos los que lo hacen interesante). Una representación de prop P en una categoría tensorial simétrica C es un functor tensorial simétrico de P a C.

Un prop es una forma de codificar los morfismos que definen una estructura que te interesa, de forma universal. Una representación de una proposición P en una categoría C es entonces lo mismo que un artefacto modelado por P, en la categoría C. Por ejemplo, véase la proposición Alg más abajo; sus representaciones en C son lo mismo que las álgebras en C. Una cosa buena de las proposiciones es que pueden estar dadas por generadores y relaciones, y también se expresan mediante funtores de Schur $\mathbb{S}_\lambda$ definido en cualquier categoría tensorial simétrica de forma similar a la definición en $GL_n$ (si alguien quiere puedo ampliar la información, pero una búsqueda de funtores de Schur probablemente dará suficientes resultados).

Un ejemplo es la proposición "Alg": tiene un morfismo $u:1\to V$ y un morfismo $\mu: V\otimes V\to V$ y una relación $\mu\circ(\mu\otimes id)=\mu\circ(id\otimes \mu)$ y una relación $\mu(u\otimes id)=\mu(id\otimes u)=id$ etc. Así que se toma formalmente la categoría tensorial simétrica sobre objetos los enteros no negativos, que admite mapas como $\mu$ y $u$ , y se cotizan por esas relaciones. Del mismo modo se pueden definir Lie-Alg, Lie-Bialg, Bi-alg, Hopf, quasi-Hopf,... se puede seguir todo el día.

Un punto clave es que los morfismos entre puntales inducen funtores de retroceso entre sus representaciones en cualquier categoría tensorial simétrica, pero en orden inverso (es decir, como es habitual $\rho:P\to S$ induce $\rho^*:S-mod\to P-mod$ . Por ejemplo, existe un morfismo de puntales de Lie-Alg a Alg, que envía el corchete $[,] \mapsto m - \tau\circ m$ . Esto induce el conocido functor de olvido de Alg a Lie-alg.

En situaciones en las que hay una estructura cuántica que es una cuantización de una estructura clásica, se obtienen dos puntales definidos sobre $k[[\hbar]]$ . Por ejemplo en el caso de Lie-Bialg, y Hopf alg, ambos tienen sentido sobre k[[\hbar]]. El functor límite clásico es inducido por un mapa prop de Bialg a Hopf alg. Resulta que tiene una sección Hopf alg a Bialg, que es el tipo de cosa que se puede comprobar por generadores y relaciones. Por supuesto que no tiene una sección única, hay muchas opciones. Sin embargo, el hecho de que haga esas elecciones UNA VEZ Y PARA SIEMPRE en este prop particular, implica entonces que tiene un functor de cuantización entre estas dos estructuras en cualquier categoría tensorial simétrica. Creo que una moraleja es que pedir que alguna construcción en categorías tensoriales simétricas sea functorial, lo cual es en general un asunto complicado, puede en ciertos casos reducirse a dar un único (¡ni siquiera necesariamente canónico!) mapa de puntales.

En el caso de la cuantización de Kontsevich, el problema parece ser que las cuantizaciones se clasifican (¡hasta el isomorfismo!) por HH^2(M) (si es una variedad de Poisson), y HH^2(A,A) del álgebra en general. Los obstáculos a la cuantificación aparecen en HH^3. Si, por ejemplo, HH^3(A,A) desaparece, significa que puedes cuantizar tu álgebra de Poisson paso a paso. Básicamente empiezas con tu ciclo de dos, te da una deformación de primer orden, intentas ver si tu nueva estructura de álgebra es asociativa hasta ahora (lo que significa escribir la identidad de asociatividad, expandir en potencia de $\hbar$ y examina el primer lugar donde no sea trivialmente cero); esto te dará un cierto co-ciclo de 3 muy explícito que necesitas que desaparezca. Si ese 3-cíclico desaparece en HH^3, entonces se obtiene como d(w) para algún 2 co-ciclo. Esto nos da la siguiente deformación de orden superior de la multiplicación, y así sucesivamente hasta el infinito.

El problema aquí es que en cada paso estás haciendo una elección de cociclo w tal que dw=tu obstrucción anterior. Los resultados que obtengas serán únicos hasta algún isomorfismo no canónico, pero eso no es suficiente para la funtorialidad. En particular, no hay un morfismo prop entre álgebras no conmutativas y álgebras de Poisson que unifique el enfoque para todos los ejemplos.

Answer 4

Creo que la frase "la cuantización no es un functor" se originó en los días anteriores a la cuantización por deformación. Originalmente, basándose quizás en los escasos ejemplos de sistemas cuánticos que la gente tenía a su disposición, la esperanza era que se podía cuantizar un sistema hamiltoniano clásico por el simple procedimiento de sustituir (hasta $i\hbar$ ) el corchete de Poisson de las funciones por el conmutador de los operadores. En otras palabras, supongamos que $P$ es un espacio de fase clásico y $H \in C^\infty(P)$ una función hamiltoniana, con una evolución temporal dada por el campo vectorial hamiltoniano $\lbrace H,-\rbrace$ . La cuantificación sería entonces un mapa $f \mapsto O_f$ de $C^\infty(P)$ (el observables clásicos ) a operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert de tal manera que $$[O_f,O_g] = i\hbar O_{\lbrace f,g\rbrace}.$$

Pronto se vio que esto no podía funcionar para todos los observables clásicos. El primer resultado de este tipo es el llamado teorema de Grönewald/Van Hove, que muestra que las ambigüedades de ordenación obligan a que la ecuación anterior sea cierta sólo hasta términos de orden superior en $\hbar$ .

En la sección 5.4 de la obra de Abraham y Marsden Fundamentos de la mecánica .

En general, se acepta que hay que hacer elecciones en la cuantificación. Incluso en el contexto de la cuantización por deformación, ésta puede no ser única. La cuantización moyal, por ejemplo, corresponde a una elección de prescripción de ordenación (ordenación simétrica de Weyl).

También hay efectos más sutiles. Por ejemplo, es posible cocinar sistemas mecánicos cuánticos unidimensionales para los que el hamiltoniano no es autoadjunto, sino que admite extensiones autoadjuntas no equivalentes, cada una de las cuales da lugar a diferentes predicciones físicas.

Me doy cuenta de que esto no responde realmente a tu pregunta, que por lo que entiendo pregunta entre qué categorías la cuantización no es un functor. Lo que quiero decir es que la cuantización puede no ser ni siquiera un mapa.

Actualización

Tras reflexionar un poco más sobre la cuestión, creo que tal vez se entienda en el siguiente sentido. La cuantización, sea cual sea, debe ser un proceso por el que se pasa de un sistema hamiltoniano clásico a un sistema mecánico cuántico. El primero viene dado por una variedad de Poisson $P$ y una elección del hamiltoniano, este último por un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y un operador autoadjunto. La cuantificación debe relacionar estados clásicos y observables clásicos con estados cuánticos y observables cuánticos. En particular, debe relacionar puntos en $P$ con rayos en $\mathcal{H}$ . Por lo tanto, una posible esperanza sería que la cuantización fuera un functor de la categoría de las variedades de Poisson a la categoría de los espacios de Hilbert (¿proyectados?). Tal vez sea en este sentido que se entiende la frase de su pregunta. Estaba tratando de recordar dónde fue que leí eso por primera vez, pero hasta ahora nada. Fue hace mucho tiempo...

Answer 5

No existe una buena definición de lo que es la cuantización. Por lo general, significa que empezamos con una estructura conmutativa $A$ una deformación de primer orden (no conmutativa) $A\otimes k[h]/(h^2)$ de esta estructura y queremos elevarla a una deformación real (o formal) $A_h$ para que $A_h/h^2A_h = A\otimes_k k[h]/(h^2)$ .

En algunos casos sabemos que el levantamiento existe pero nunca es único. En cambio, en el entorno formal, existe un grupo que actúa simplemente de forma transitiva sobre el conjunto de cuantizaciones. Así que el conjunto de "cuantizaciones" es un torsor bajo este grupo.

Por ejemplo, la teoría de los grupos cuánticos es una teoría de cuantificación de los grupos semisimples o, más exactamente, de su álgebra de Hopf. Drinfeld demostró que, dada el álgebra envolvente $A = Ug$ de un álgebra de Lie $g$ (es álgebra de Hopf cocomutativa) sobre un campo de característica 0, y un tensor simétrico ad-invariante $t\in Sym^2(g)^g$ (correspondiente a una deformación de primer orden), existe una cuantización de $Ug$ , es decir, una cuasi álgebra triangular de Hopf $A_h \simeq Ug[[h]]$ reduciendo a estos datos mod $h^2$ . El conjunto de cuantizaciones (universales) es una variedad pro-algebraica $Assoc$ de "asociadores" y es un torsor bajo el grupo Grothendieck-Teichmuller $GT$ que es una extensión de $G_m$ (porque tenemos una acción $\varphi:h\mapsto \lambda h$ ) por un grupo pro-unipotente (porque podemos filtrarlo por $\varphi \equiv id \mod h^n$ ).

El teorema de Kontsevich sobre la cuantificación de la deformación de las variedades de Poisson muestra un patrón similar. Aquí la estructura es un álgebra asociativa (con algunas propiedades adicionales). Una deformación de 1er orden de un álgebra conmutativa $A$ es un soporte de Poisson. Y tratamos de elevarlo a una deformación formal $A_h$ .

En ambos casos, creo que la elección de un asociador te da un functor. Pero a) sólo consideramos cuantizaciones "universales". Si consideramos un solo objeto (álgebra de Hopf o álgebra de Poisson) puede tener algunas deformaciones que no están dadas por la receta universal. b) en ambos casos, sólo pedimos un isorfismo $A_h/h^2A_h = A\otimes k[h]/(h^2)$ . No pedimos una sección $a\mapsto \hat a_h$ (una regla de cuantificación como la ordenación simétrica). Creo que tal requisito siempre rompería la funtorialidad.