¿Tiene sentido modelar la energía cinética como:
$$T=\frac{1}{2}mv\,|v| \ \ \ \text{instead} \ \text{of} \ \ \ T=\frac{1}{2}mv^2 \ \ \ ?$$
En el siguiente youtube video se explica para un hoja de ruta por qué la descripción clásica de la Ley de Bernoulli no es suficiente para explicar cuánta sustentación se genera en la realidad. No me interesa el tema del vídeo "per se", sino la construcción de su explicación. El autor utiliza la Ecuación de Bernoulli para agrupar los términos asociados a la energía cinética del fluido. Después de algunas manipulaciones, utilizando para construir el Fuerza de arrastre proporcional a un término cuadrático de la velocidad, dando la intuición de por qué se modela como:
$$F_d=\frac{1}{2}\rho A\,C_d\,v^2$$
Ahora, me gustaría revisar un ejemplo simple y bien conocido de un modelo de física, donde se considera la fuerza de arrastre, el clásico péndulo no lineal con fricción.
Si se revisa el clásico péndulo no lineal con la ecuación de fricción, donde la fuerza de arrastre se modela proporcional a la velocidad, como en Ley de Stokes , en Wolfram-Alpha . Se puede ver que tiene soluciones decadentes como se esperaba:
$$\ddot{x}+2\cdot0.021\,\dot{x}+0.2\sin(x)=0, \ \ \ \\ x(0)=\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \dot{x}(0)=0 \tag{Eq. 1}\label{Eq. 1}$$
Si en cambio, la fuerza de arrastre estándar $F_{\text{drag}}\propto (\dot{x})^2$ se utiliza como se muestra aquí para la ecuación:
$$\ddot{x}+0.021(\dot{x})^2+0.2\sin(x)=0, \ \ \ \ \\ x(0)=\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ \dot{x}(0)=0 \tag{Eq. 2}\label{Eq. 2}$$
su solución no está mostrando la decadencia esperada que se puede ver en los péndulos experimentales.
Este problema podría resolverse utilizando un ansatz para la fuerza de arrastre $F_{\text{drag}}\propto \dot{x}|\dot{x}|$ (siguiendo este referencia ecuación $1.127$ ), que como puede verse aquí para la ecuación:
$$\ddot{x}+0.021\dot{x}|\dot{x}|+0.2\sin(x)=0, \ \ \ \ \\ x(0)=\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ \dot{x}(0)=0 \tag{Eq. 3}\label{Eq. 3}$$
su solución ha recuperado de nuevo el comportamiento decadente esperado para un péndulo con fricción.
Ahora, dada la estrecha relación entre la energía cinética y la fuerza de arrastre que se muestra en el vídeo, y debido a la incapacidad de la forma clásica de la fuerza de arrastre para reproducir las soluciones decadentes de un péndulo con rozamiento, me gustaría saber si tiene sentido considerar la energía cinética como:
$$T=\frac{1}{2}mv\,|v| \ \ \ \text{instead} \ \text{of} \ \ \ T=\frac{1}{2}mv^2$$
Espero que puedas explicar por qué es así, y si hay algún ejemplo, compartirlo y explicar cómo el término de energía cinética $T\propto v\,|v|$ ha surgido. Para una respuesta negativa, por favor, explique por qué la ecuación estándar de la fuerza de arrastre mostrada en Wikipedia falla en la descripción del péndulo con fricción como se muestra en \eqref {Eq. 2} pero funciona para \eqref {Eq. 3} (en este papel en el punto $III$ se resuelve incluso a trozos).
Añadido más tarde
Estos son los cálculos realizados en el mencionado youtube video :
$$\begin{array}{l} \text{velocities on upper/lower sides of the airfoil}\quad v_1=\frac{d_1}{t_1}; \quad v_2=\frac{d_2}{t_2}; \\ \text{assumption}\quad t_1=t_2\ \ \textit{(mistaken)}\\ \text{Bernoulli Equation} \qquad P_1 + \rho g h + \underbrace{\frac{1}{2}\rho v_1^2}_{\text{kinetic energy}} = P_2 + \rho g h + \underbrace{\frac{1}{2}\rho v_2^2}_{\text{kinetic energy}} \\ \Rightarrow \Delta P = \frac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right) = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{v_2+v_1}{v_1}\right)\left(\frac{v_2-v_1}{v_1}\right)\right)v_1^2 = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{v_2}{v_1}+1\right)\left(\frac{v_2}{v_1}-1\right)\right)v_1^2 \\ \Rightarrow \Delta P = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{d_2}{d_1}+1\right)\left(\frac{d_2}{d_1}-1\right)\right)v_1^2 = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2-1\right)v_1^2 \\ \text{multiplying both sides by area} \Rightarrow \underbrace{A\Delta P}_{F_d} = \frac{1}{2}\rho A \left(\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2-1\right) v_1^2 \underbrace{\propto}_{\text{proportional}} \frac{1}{2}\rho A\,C_d\,v_1^2 \end{array}$$
Como a partir de la parte de energía cinética de la Ecuación de Bernoulli el video encuentra la Fuerza de Arrastre para el ejemplo, hice el emparejamiento con la versión donde se usa el valor absoluto. Espero que esto explique mejor el porqué de la pregunta.
El segundo se añadió más tarde
Encontré este documento:
donde los autores de las ecuaciones $(59)$ y $(60)$ introducir una fuerza de arrastre $F_d = b\ \dot{y} + c\ \dot{y}|\dot{y}|$ para una descripción más precisa de los efectos del aire en el péndulo. No sé si añade información sobre la cuestión de la energía cinética, pero da sentido a los signos necesarios para la descripción adecuada de la fuerza de arrastre.
