¿Tiene sentido modelar la energía cinética como $T=\frac{1}{2}mv\,|v|$ en lugar de $T=\frac{1}{2}mv^2$ ?

Question

¿Tiene sentido modelar la energía cinética como:

$$T=\frac{1}{2}mv\,|v| \ \ \ \text{instead} \ \text{of} \ \ \ T=\frac{1}{2}mv^2 \ \ \ ?$$

En el siguiente youtube video se explica para un hoja de ruta por qué la descripción clásica de la Ley de Bernoulli no es suficiente para explicar cuánta sustentación se genera en la realidad. No me interesa el tema del vídeo "per se", sino la construcción de su explicación. El autor utiliza la Ecuación de Bernoulli para agrupar los términos asociados a la energía cinética del fluido. Después de algunas manipulaciones, utilizando para construir el Fuerza de arrastre proporcional a un término cuadrático de la velocidad, dando la intuición de por qué se modela como:

$$F_d=\frac{1}{2}\rho A\,C_d\,v^2$$

Ahora, me gustaría revisar un ejemplo simple y bien conocido de un modelo de física, donde se considera la fuerza de arrastre, el clásico péndulo no lineal con fricción.

Si se revisa el clásico péndulo no lineal con la ecuación de fricción, donde la fuerza de arrastre se modela proporcional a la velocidad, como en Ley de Stokes , en Wolfram-Alpha . Se puede ver que tiene soluciones decadentes como se esperaba:

$$\ddot{x}+2\cdot0.021\,\dot{x}+0.2\sin(x)=0, \ \ \ \\ x(0)=\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \dot{x}(0)=0 \tag{Eq. 1}\label{Eq. 1}$$

Si en cambio, la fuerza de arrastre estándar $F_{\text{drag}}\propto (\dot{x})^2$ se utiliza como se muestra aquí para la ecuación:

$$\ddot{x}+0.021(\dot{x})^2+0.2\sin(x)=0, \ \ \ \ \\ x(0)=\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ \dot{x}(0)=0 \tag{Eq. 2}\label{Eq. 2}$$

su solución no está mostrando la decadencia esperada que se puede ver en los péndulos experimentales.

Este problema podría resolverse utilizando un ansatz para la fuerza de arrastre $F_{\text{drag}}\propto \dot{x}|\dot{x}|$ (siguiendo este referencia ecuación $1.127$ ), que como puede verse aquí para la ecuación:

$$\ddot{x}+0.021\dot{x}|\dot{x}|+0.2\sin(x)=0, \ \ \ \ \\ x(0)=\frac{\pi}{2}, \ \ \ \ \ \dot{x}(0)=0 \tag{Eq. 3}\label{Eq. 3}$$

su solución ha recuperado de nuevo el comportamiento decadente esperado para un péndulo con fricción.

Ahora, dada la estrecha relación entre la energía cinética y la fuerza de arrastre que se muestra en el vídeo, y debido a la incapacidad de la forma clásica de la fuerza de arrastre para reproducir las soluciones decadentes de un péndulo con rozamiento, me gustaría saber si tiene sentido considerar la energía cinética como:

$$T=\frac{1}{2}mv\,|v| \ \ \ \text{instead} \ \text{of} \ \ \ T=\frac{1}{2}mv^2$$

Espero que puedas explicar por qué es así, y si hay algún ejemplo, compartirlo y explicar cómo el término de energía cinética $T\propto v\,|v|$ ha surgido. Para una respuesta negativa, por favor, explique por qué la ecuación estándar de la fuerza de arrastre mostrada en Wikipedia falla en la descripción del péndulo con fricción como se muestra en \eqref {Eq. 2} pero funciona para \eqref {Eq. 3} (en este papel en el punto $III$ se resuelve incluso a trozos).

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Añadido más tarde

Estos son los cálculos realizados en el mencionado youtube video :

$$\begin{array}{l} \text{velocities on upper/lower sides of the airfoil}\quad v_1=\frac{d_1}{t_1}; \quad v_2=\frac{d_2}{t_2}; \\ \text{assumption}\quad t_1=t_2\ \ \textit{(mistaken)}\\ \text{Bernoulli Equation} \qquad P_1 + \rho g h + \underbrace{\frac{1}{2}\rho v_1^2}_{\text{kinetic energy}} = P_2 + \rho g h + \underbrace{\frac{1}{2}\rho v_2^2}_{\text{kinetic energy}} \\ \Rightarrow \Delta P = \frac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right) = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{v_2+v_1}{v_1}\right)\left(\frac{v_2-v_1}{v_1}\right)\right)v_1^2 = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{v_2}{v_1}+1\right)\left(\frac{v_2}{v_1}-1\right)\right)v_1^2 \\ \Rightarrow \Delta P = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{d_2}{d_1}+1\right)\left(\frac{d_2}{d_1}-1\right)\right)v_1^2 = \frac{1}{2}\rho\left(\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2-1\right)v_1^2 \\ \text{multiplying both sides by area} \Rightarrow \underbrace{A\Delta P}_{F_d} = \frac{1}{2}\rho A \left(\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2-1\right) v_1^2 \underbrace{\propto}_{\text{proportional}} \frac{1}{2}\rho A\,C_d\,v_1^2 \end{array}$$

Como a partir de la parte de energía cinética de la Ecuación de Bernoulli el video encuentra la Fuerza de Arrastre para el ejemplo, hice el emparejamiento con la versión donde se usa el valor absoluto. Espero que esto explique mejor el porqué de la pregunta.

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El segundo se añadió más tarde

Encontré este documento:

• "El péndulo - Física rica a partir de un sistema simple" - Robert A. Nelson & M. G. Olsson

donde los autores de las ecuaciones $(59)$ y $(60)$ introducir una fuerza de arrastre $F_d = b\ \dot{y} + c\ \dot{y}|\dot{y}|$ para una descripción más precisa de los efectos del aire en el péndulo. No sé si añade información sobre la cuestión de la energía cinética, pero da sentido a los signos necesarios para la descripción adecuada de la fuerza de arrastre.

Answer 1

No, porque la energía cinética no es un vector, por lo que no podemos hacer que sea proporcional a un vector. La energía cinética es una cantidad escalar, por lo que $T=\frac12m\mathbf v\cdot|v|$ no se puede utilizar. La fuerza de arrastre es un vector, y está relacionado con la dirección de $\mathbf v$ Por eso tenemos la expresión que das en tu post.

En general, esto muestra problemas con preguntas como éstas que preguntan "¿por qué no podemos usar esta expresión para esta cantidad física en su lugar?" El problema es que no estás relacionando esta pregunta con ninguna otra definición de energía cinética, y por lo tanto la pregunta pierde el propósito de las definiciones. "La energía cinética es la cantidad cuyo cambio es igual al trabajo neto realizado. A partir de esto, encontramos $T=\frac12mv^2$ es la expresión que describe esta definición.

Si tiene otra comprensión de la energía cinética, debe preguntarse por qué $T=\frac12m\mathbf v\cdot|v|$ no se puede utilizar para describir la definición que tienes en mente. Por lo demás, no hay mucho más que decir.

Answer 2

1. El fuerza de resistencia $${\bf F}_{\rm drag}~=~-f(v^2)~ {\bf v}, \qquad f(v^2)~>~0, \tag{1} $$ se dirige siempre en sentido contrario a la velocidad ${\bf v}$ :

   1. La fricción/arrastramiento lineal corresponde a una constante $f$ -función.

   2. El $f$ -es una raíz cuadrada para el arrastre cuadrático. En 1D esto se convierte en un valor absoluto, cf. el post del OP.

2. No está claro qué es una fuerza de arrastre cuadrática ${\bf F}_{\rm drag}\propto-\dot{x}|\dot{x}|$ tiene que ver con una energía cinética firmada $\frac{1}{2}m\dot{x}|\dot{x}|$ en 1D, cf. el post del OP.

   Sin embargo, una energía cinética firmada es útil, por ejemplo, en la 1D doble integrador , cf. este Puesto de Phys.SE.

Answer 3

Fuerza de arrastre
La razón del fracaso de la ecuación de la fuerza de arrastre, es que la fuerza de arrastre debe estar dirigida contra la velocidad, $\dot{x}$ . El término de Stoke, lineal en la velocidad (así como cualquier potencia impar de la velocidad) satisface esta condición $$ F_{2n+1}(\dot{x})=-\gamma\dot{x}^{2n+1}=-F_{2n+1}(-\dot{x}). $$ Por otro lado, una potencia uniforme de $\dot{x}^2$ requiere una matemática un poco más complicada, ya que, por ejemplo, $$ F_{2n}(\dot{x})=-\gamma\text{sign}(\dot{x})\dot{x}^{2n}= =-\gamma\dot{x}|\dot{x}|^{2n-1}=-F_{2n}(-\dot{x}). $$

Energía
Las razones por las que la energía es un escalar son muy diferentes - es la primera integral de las ecuaciones de movimiento . Por ejemplo, si tomamos la ecuación de Newton para una partícula en un campo conservador $$ m\ddot{\mathbf{r}}=-\nabla U(\mathbf{r}), $$ multiplícalo por $\dot{\mathbf{r}}$ y realizar algunas transformaciones algebraicas, obtenemos: $$ 0=\left[m\ddot{\mathbf{r}} +\nabla U(\mathbf{r})\right]\dot{\mathbf{r}}= m\ddot{\mathbf{r}}\dot{\mathbf{r}} +\nabla U(\mathbf{r})\dot{\mathbf{r}}= \frac{d}{dt}\left[\frac{m\dot{\mathbf{r}}^2}{2}+U(\mathbf{r})\right]=\frac{d}{dt}E(t) $$ Es decir, la cantidad $E(t)=\frac{m\dot{\mathbf{r}}^2}{2}+U(\mathbf{r})$ no cambia con el tiempo (es decir, se conserva) a lo largo de las trayectorias descritas por la ecuación del movimiento. Esto es sólo un hecho matemático: no hay mucha flexibilidad para ajustarlo.

Answer 4

La energía cinética no es un vector sino un escalar. La energía como escalar tiene sentido ya que sólo con esa definición es una cantidad conservativa:

Consideremos un péndulo normal en el que la energía total permanece constante: $$ E_{tot} = E_{kin} + E_{pot} = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \mathrm{const}$$

Ahora bien, si se utilizara tu definición de energía cinética, dicha ecuación ya no funcionaría: para empezar, la energía potencial no es un vector, y si lo fuera, ¿en qué dirección estaría? ¿Hacia abajo? En cualquier caso, la energía total del sistema cambiaría constantemente y sería opuesta cuando el péndulo se balancea de izquierda a derecha en comparación con el balanceo de derecha a izquierda. Aunque esto es cierto para la velocidad o el momento, no es útil en términos de discusiones energéticas.

Answer 5

No, no puede. A diferencia de la cantidad $T=\frac{1}{2}m|\mathbf{v}|^2$ que llamamos energía cinética, la cantidad $\frac{1}{2}m|\mathbf{v}|\mathbf{v}$ es inútil. No aparece en ninguna aplicación física ni puede utilizarse para simplificar ningún problema de física. Hay que entender que todas las magnitudes físicas tienen nombre simplemente porque son útiles, nada más que eso. Si una magnitud es inútil, no tendrá nombre.