Antes de nada me gustaría decir que sí, que he visto las otras pruebas de esto aquí, y sí que las he intentado a fondo, pero todavía no las entiendo del todo para poder escribirlo con tranquilidad.
El cubo de Hilbert, $(H^\infty,d)$ es una colección de todas las secuencias reales $x = \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ con $\vert x_n \vert \leq 1$ para $n=1,2,\ldots$ y $d(x,y)= \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\vert x_n-y_n \vert$ .
Dejemos que $A=\{x^{(1)},x^{(2)},\ldots\}$ sea una secuencia en $H^{\infty}$ , de tal manera que $x^{(k)}= x^{(k)}_1,x^{(k)}_2,\ldots$ . Ahora, dada esta representación, consideramos la secuencia de primeras coordenadas, que es una subsecuencia de $A$ . Así, tenemos $\{x^{(1)}_1,x^{(2)}_1,x^{(3)}_1,\ldots\}$ . Supongamos que consideramos la secuencia de las segundas coordenadas, que es una subsecuencia de $A$ , $\{x^{(1)}_2,x^{(2)}_2,x^{(3)}_2,\ldots\}$ . Así, podemos iterar este proceso para cada "coordenada", entonces
Este es el punto en el que estoy confundido en cuanto a qué hacer. Mi pensamiento inicial es "apilar" estas secuencias de coordenadas y tomar la diagonal de ellas, pero esto no se siente bien ya que esto no garantiza necesariamente que va a converger.
Se agradecerá cualquier sugerencia o aclaración de otras pruebas de aquí.
