Esto es lo mismo. Tal vez el diagrama cuadrado en la secuela muestra de la manera más "simple" por qué.
Primero tengo que decir algo sobre la convención utilizada para los vectores. Porque este es el "impedimento canónico" cuando se trata de cambio de base.
Trabajamos con columna vectores, y las matrices actúan sobre ellos mediante a la izquierda multiplicación. El mapa lineal de a la izquierda multiplicación con una matriz $A$ se denotará a continuación (abusivamente) también por $ A$ . Así que $x$ va a través de $A$ a $ A\cdot x=Ax$ , que se muestra como $$ x\overset{A}\longrightarrow Ax\ . $$ "La mayor parte del mundo" utiliza vectores columna. (Algunos autores escriben apuntes o libros (por ejemplo, en Word), y les resulta práctico utilizar vectores de fila, para que puedan mostrarse de forma más sencilla en las filas del libro. En este caso, los mapas lineales inducidos por matrices utilizan la multiplicación por la derecha con dichas matrices. Mientras necesitemos en los cálculos sólo combinaciones lineales la convención no es tan importante, pero sí lo es cuando utilizamos mapas lineales inducidos por matrices).
Trabajaremos en la "categoría" de espacios vectoriales (de dimensión finita) (sobre $\Bbb R$ ) con unas bases fijas. El espacio $V:=\Bbb R^3$ viene con la base canónica $\mathcal E=(e_1,e_2,e_3)$ , donde $e_1,e_2,e_3$ son las columnas de la matriz $E$ abajo, $$ E= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\ . $$ Escribimos este objeto como $(V,\mathcal E)$ . Por abuso, podemos querer escribir $(V,E)$ en su lugar.
Empezamos con dos objetos de esta categoría. Para nuestros propósitos, dejemos que tengan el mismo espacio vectorial subyacente $V=W=\Bbb R^3$ El primer objeto es $(V,\mathcal B=(b_1,b_2,b_3))$ y el segundo objeto es $(W,\mathcal C=(c_1,c_2,c_3))$ .
Un mapa lineal $g:V\to W$ se define de forma "abstracta", y no necesita bases elegidas. Pero en la práctica, $g$ se suele dar en bases específicas de la siguiente manera. Sea $v$ sea un vector en $V$ . Lo escribimos en relación con $\mathcal B$ como $v=x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3$ y escribir estos datos como un vector de columnas: $$ v = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}_{\mathcal B} :=x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3 \ . $$ Entonces consideramos una matriz $M=M_{\mathcal B, \mathcal C}$ y construir el vector de multiplicación de la matriz: $$ \begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix} = M \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\ . $$ Entonces consideramos el vector $w\in W$ que se escribe en base $\mathcal C$ tiene el $y$ -componentes, por lo que $$ w = \begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}_{\mathcal C} :=y_1c_1+y_2c_2+y_3c_3 \ , $$ y el mapa $g$ es un mapeo lineal $v$ a $w$ .
Con esto concluye la sección relacionada con las convenciones y las notaciones.
Dejemos que $\mathcal C$ sea la base de la OP, la base con vectores que son columnas de $$ C= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\ . $$ Dejemos que $A$ sea la matriz del mapa lineal dado $f$ con respecto a la base canónica $\mathcal E$ . $$ A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\-2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\ . $$ Consideremos ahora el diagrama: $\require{AMScd}$ \begin{CD} (V,E) @>A>f> (V,E) \\ @A C A {\operatorname{id}}A @A {\operatorname{id}}A C A\\ (V,C) @>f>{C^{-1}AC}> (V,C) \\ \end{CD}
Sí, es cierto, $C$ es la matriz de la identidad vista como un mapa $(V,\mathcal C)\to(V,\mathcal E)$ . Por ejemplo, $$ c_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}_{\mathcal C} \qquad\text{ goes to }\qquad c_1 =\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}_{\mathcal E} =C\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}_{\mathcal E}\ . $$
Queda por calcular explícitamente la matriz $C^{-1}AC$ . Ordenador, por supuesto:
sage: A = matrix(3, 3, [1, -1, 2, -2, 1, 0, 1, 0, 1])
sage: C = matrix(3, 3, [1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, -1, 1])
sage: A
[ 1 -1 2]
[-2 1 0]
[ 1 0 1]
sage: C
[ 1 0 1]
[ 1 1 1]
[ 0 -1 1]
sage: C.inverse() * A * C
[ 0 -6 3]
[-1 4 -3]
[ 0 3 -1]
Y comprobamos el resultado en ambos sentidos:
$\bf(1)$
$\require{AMScd}$ \begin{CD} c_j=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} y el de la gente de la ciudad. \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}_{\mathcal E}\ ,\ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} y que no se puede hacer nada más que una simple prueba de que el dinero no está en el bolsillo. @>A>f> fc_j= \begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}_{\mathcal E}\ ,\ \begin{bmatrix}-3\\1\\-1\end{bmatrix} y el de la gente de la ciudad. \begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix}_{\mathcal E} \\ @A C A {\operatorname{id}}A @A {\operatorname{id}}A C A\\ c_j=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} y el de la gente de la ciudad. \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}_{\mathcal C}\ ,\ \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} C. @>f>{C^{-1}AC}> fc_j= \begin{bmatrix}0\\-1\\0\end{bmatrix}_{\mathcal C}\ ,\ \begin{bmatrix}-6\\4\\3\end{bmatrix} y el de la gente de la ciudad. \begin{bmatrix}3\\-3\\-1\end{bmatrix}_{\mathcal C} \end{CD}
O más sencillo, utilizando matrices de bloques, e ignorando el conocimiento de las bases:
$\require{AMScd}$ \begin{CD} C @>A>f> AC \\ @A C A {\operatorname{id}}A @A {\operatorname{id}}A C A\\ E @>f>{C^{-1}AC}> C^{-1}AC \end{CD}
$\bf(2)$ Siguiendo el espíritu del OP, utilizando cálculos de vectores de fila copiados+pegados+corregidos:
$$ \begin{aligned} (0,-1,1) &=\boxed{0}\cdot (1,1,0)+\boxed{(-1)}\cdot (0,1,-1)+\boxed{0}\cdot (1,1,1) \ , \\ \\ (-3,1,-1) &=\boxed{-6}\cdot (1,1,0)+\boxed{4}\cdot (0,1,-1)+\boxed{3}\cdot (1,1,1) \ , \\ \\ (2,-1,2) &=\boxed{3}\cdot (1,1,0)+\boxed{(-3)}\cdot (0,1,-1)+\boxed{-1}\cdot (1,1,1) \ . \end{aligned} $$
