Ángulo de dispersión elástica

Question

Estaba leyendo Introducción a la física nuclear de Krane y tropezó con lo siguiente (página 47):

En la dispersión elástica, la función de onda inicial del electrón es de la forma $e^{i k_i r}$ (partícula libre de momento $p_i = \hbar k_i$ ). El electrón disperso también puede considerarse como una partícula libre de momento $p_f = \hbar k_f$ y la función de onda $e^{i k_f r}$ .

La interacción $V(r)$ convierte la onda inicial en la onda dispersa; la probabilidad de la transición será proporcional al cuadrado de la siguiente cantidad:

$$F(q) = \int V(r) e^{iqr}dv$$

Introduciendo el potencial de Coulomb y la carga por unidad de volumen en $F(q)$ :

$$F(q) = \int e^{iqr'} \rho(r') dv'$$

Normalizar y saber que $\rho(r')$ sólo depende de $r'$ (y no en $\theta'$ ni $\phi'$ ) obtenemos:

$$F(q) = \frac{4\pi}{q}\int r' sin (qr') \rho(r') dr'$$

Donde $q = k_i - k_f$ . La dispersión es elástica, por lo que el momento se conserva ( $p_i = p_f$ ) y $q$ es simplemente una función del ángulo de dispersión $\alpha$ entre $p_i$ y $p_f$ .

Ahora se ve un poco de manipulación de vectores:

$$q = \frac{2p}{\hbar}sin(\frac{\alpha}{2})$$

No sé cómo conseguir la última expresión

Answer 1

Dibuja un diagrama de dos vectores de longitud $p$ con ángulo $\alpha$ entre ellos, y encontrar la diferencia de los vectores.