Estaba leyendo Introducción a la física nuclear de Krane y tropezó con lo siguiente (página 47):
En la dispersión elástica, la función de onda inicial del electrón es de la forma $e^{i k_i r}$ (partícula libre de momento $p_i = \hbar k_i$ ). El electrón disperso también puede considerarse como una partícula libre de momento $p_f = \hbar k_f$ y la función de onda $e^{i k_f r}$ .
La interacción $V(r)$ convierte la onda inicial en la onda dispersa; la probabilidad de la transición será proporcional al cuadrado de la siguiente cantidad:
$$F(q) = \int V(r) e^{iqr}dv$$
Introduciendo el potencial de Coulomb y la carga por unidad de volumen en $F(q)$ :
$$F(q) = \int e^{iqr'} \rho(r') dv'$$
Normalizar y saber que $\rho(r')$ sólo depende de $r'$ (y no en $\theta'$ ni $\phi'$ ) obtenemos:
$$F(q) = \frac{4\pi}{q}\int r' sin (qr') \rho(r') dr'$$
Donde $q = k_i - k_f$ . La dispersión es elástica, por lo que el momento se conserva ( $p_i = p_f$ ) y $q$ es simplemente una función del ángulo de dispersión $\alpha$ entre $p_i$ y $p_f$ .
Ahora se ve un poco de manipulación de vectores:
$$q = \frac{2p}{\hbar}sin(\frac{\alpha}{2})$$
No sé cómo conseguir la última expresión
