Fórmula de la suma de series $1+(1+x)+(1+x)^2+.... +(1+x)^n$

Question

Cuál es la fórmula para obtener la suma de series

$$1+(1+x)+(1+x)^2+.... +(1+x)^n,$$

donde $n$ es un número entero y $x$ es Racional

Answer 1

HINT $\ $ Es un serie geométrica

Answer 2

Simplificado tras el comentario de Yuval Filmus .

$$S=1+(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\ldots +(1+x)^{n}$$

es la suma de a progresión geométrica con relación $1+x$ y $n+1$ términos, el primero de los cuales es $1$ . La forma habitual de derivar $S$ es multiplicarlo por el ratio

$$(1+x)S=(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\ldots +(1+x)^{n}+(1+x)^{n+1}$$

y restar de $S$ :

$$\begin{eqnarray*} S-(1+x)S &=&1+\left( (1+x)-(1+x)\right) +\left( (1+x)^{2}-(1+x)^{2}\right) \\ &&+\ldots +\left( (1+x)^{n}-(1+x)^{n}\right) -(1+x)^{n+1} \\ &=&1-(1+x)^{n+1}. \end{eqnarray*}$$

Resolver para $S$ obtenemos

$$S=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{x}\qquad (x\neq 0).$$

Para $x=0$ la suma de las series es

$$S=1+1+1^{2}+1^{3}+\ldots +1^{n}=1+n.$$

Answer 3

Es una serie geométrica con ración común $(1+x)$ . La suma para una serie geométrica viene dada por $$ S = a \frac{ r^{n}-1}{r-1}$$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la proporción común.