Valor medio de $\frac{x'A^2x}{x'A^3x}$ sobre la superficie de $n$ -Esfera de dimensiones

Question

Supongamos que $A$ es una matriz diagonal con valores propios $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{n}$ y $x$ se extrae de la gaussiana estándar en $n$ dimensiones. En las simulaciones numéricas, la siguiente cantidad parece converger a $2$ como $n\rightarrow \infty$

$$z_n=E_{x\sim \mathcal{N}\left(0, I_n\right)}\left[\frac{x^T A^2 x}{x^T A^3 x}\right]$$

¿Se puede probar o refutar esto?

$z_n$ también puede ser escrito como la siguiente suma

$$z_n=\sum_{i=1}^n i E_{y\sim \mathcal{N}\left(0,A^3\right)}\left[\frac{y_i^2}{\|y\|^2}\right]$$

Esta cantidad puede considerarse como el cociente medio de las formas cuadráticas $A^2$ y $A^3$ en la superficie de $n$ -Esfera de dimensiones.

Este es el aspecto de la distribución para algunos valores de $n$ Los medios tienden a $2$

Answer 1

Podemos intentar simplificar esta integral multidimensional de la siguiente manera. La expresión para el valor de la expectativa es

$$E[\frac{x^TA^2 x}{x^TA^3 x}]=\int d^nx \frac{e^{-|x|^2/2}}{(2\pi)^{n/2}}\frac{\sum_{k=1}^n x^2_k/k^2}{\sum_{k=1}^n x^2_k/k^3}=:I_n$$

Insertamos la identidad $\frac{1}{\Delta}=\int_0^{\infty}e^{-s\Delta}ds$ con $\Delta=\sum_{k=1}^n x^2_k/k^3$ para hacer desaparecer el denominador. Las integrales sobre las coordenadas vectoriales aleatorias se convierten en gaussianas y obtenemos la integral unidimensional mucho más sencilla

$$I_n=\int_0^{\infty}ds F_n(s)G_n(s)~,~ F_n(s)=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+2s/k^3}}~,~ G_n(s)=\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^3+2s}$$

Las formas explícitas para $F_{\infty}(s), G_{\infty}(s)$ no son muy esclarecedoras, pero realizando algunas asintóticas integrales rápidas se observa que cuando $s\to\infty$

$$F_{\infty}(s)\sim \exp\left(-\frac{\pi}{\sqrt{3}}(2s)^{1/3}\right)$$ $$G_{\infty}(s)\sim \frac{2\pi}{3\sqrt{3}(2s)^{1/3}}$$

y como las secuencias $F_n, G_n$ son monótonas y están acotadas por sus respectivos límites de la suma infinita y del producto y esos límites existen y la integral converge, se nos permite utilizar la convergencia dominada para tomar el límite dentro de la integral. La integración numérica de estas funciones para varios valores de $n$ indica que lo más probable es que el límite sólo se aproxime al valor $2$ de la siguiente manera:

Answer 2

No es una respuesta, pero quería señalar un resultado interesante que lleva a una identidad con las funciones zeta. Sea $A = \sum_{k\ge 1} X_k^2/k^2$ y $B = \sum_{k \ge 1}X_k^2/k^3$ . Entonces una expansión en serie de Taylor de $f(A, B)$ alrededor de $(\mu_A, \mu_B)=\mathbb{E}[(A, B)] = (\zeta(2), \zeta(3))$ es \begin{align*} \frac{A}{B} = \frac{\mu_A}{\mu_B} + \begin{pmatrix} 1/\mu_B \\ -\mu_A/\mu_B^2\end{pmatrix} ^\N -intercambio \begin{pmatrix} A - \mu_A \\ B - \mu_B \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} A - \mu_A \\ B - \mu_B \end{pmatrix}^\intercal\begin{pmatrix} 0 & -1/\mu_B^2 \\mu_B^2 & 2 \mu_A/\mu_B^3 end{pmatrix} \begin{pmatrix} A - \mu_A \\ B - \mu_B \end{pmatrix} + \cdots \fin{align*} Los primeros términos de esta expansión son \begin{align*} \mathbb{E}\left[\frac{A}{B}\right] &= \frac{\mu_A}{\mu_B} - \frac{\mathbb{E}(A - \mu_A)(B-\mu_B)}{\mu_B^2} + \frac{\mu_A\mathbb{E}(B-\mu_B)^2}{\mu_B^3} + \frac{\mathbb{E}(A-\mu_A)^2(B-\mu_B)}{6\mu_B^3} + \frac{\mathbb{E}(A-\mu_A)(B-\mu_B)^2}{3\mu_B^2} - \frac{\mathbb{E}(B-\mu_B)^3\mu_A}{2\mu_B^4} + \cdots \\ &= \frac{\zeta(2)}{\zeta(3)} - 2 \frac{\zeta(5)}{\zeta(3)^2} + 2 \frac{\zeta(6)\zeta(2)}{\zeta(3)^3} + \cdots \end{align*}