Pensando en productos tensoriales arbitrarios de anillos, $A=\otimes_i A_i$ ( $i\in I$ un conjunto de índices arbitrarios), recientemente me he dado cuenta de que $Spec(A)$ debe ser el producto de los esquemas $Spec(A_i)$ a priori en la categoría de esquemas afines, pero en realidad en la categoría de esquemas, gracias a la cadena de igualdades (donde $X$ es un esquema no necesariamente afín)
$$ Hom_{Schemes} (X, Spec(A))= Hom_{Rings}(A,\Gamma(X,\mathcal O))=\prod_ {i\in I}Hom_{Rings}(A_i,\Gamma(X,\mathcal O)) $$
$$ =\prod_ {i\in I}Hom_{Schemes}(X,Spec(A_i))$$
Como esto parece demasiado fácil, no estaba muy convencido de que fuera correcto, pero un colega mío muy fiable me tranquilizó explicando que la interpretación categórica correcta de la fórmula más realista anterior es que la categoría de esquemas afines es una subcategoría reflexiva de la categoría de esquemas. (Naturalmente, los lectores increíblemente expertos en categorías de aquí lo saben perfectamente, pero yo no lo sabía en absoluto).
Y ahora estoy perplejo: Siempre había asumido que los productos infinitos de los esquemas no existen y me doy cuenta de que no tengo ni idea de por qué lo pensaba.
Como no soy ni psicólogo ni sociólogo, argumentos como "se mencionaría en EGA si siempre existieran" no me atraen especialmente y agradecería mucho que algún lector me explicara qué se sabe de estos infinitos productos.
