Permítanme reformular la pregunta (y la respuesta de Ilya). Dada una colección arbitraria $X_i$ de esquemas, es el functor (sobre esquemas afines, digamos)
$Y \mapsto \prod_i Hom(Y, X_i)$
¿representable por un esquema? Si el $X_i$ son todas afines, la respuesta es sí, como se explica en el enunciado de la pregunta. De forma más general, cualquier sistema inverso filtrado de esquemas con mapas de transición esencialmente afines tiene un límite inverso en la categoría de esquemas (esto está en EGA IV.8). La topología en ese caso es la topología del límite inverso, por cierto.
Es fácil encontrar ejemplos de productos infinitos de esquemas no separados que no son representables por esquemas. Esto se debe a que cualquier esquema tiene una diagonal localmente cerrada. En otras palabras, si $Y \rightrightarrows Z$ es un par de mapas de esquemas entonces el lugar en $Y$ donde los dos mapas coinciden es localmente cerrado en $Y$ .
Supongamos que $Z$ es la línea afín con un origen doble. Todo subconjunto abierto distinguido de un esquema afín $Y$ se produce como el lugar donde dos mapas $Y \rightrightarrows Z$ estar de acuerdo. Deja que $X = \prod_{i = 1}^\infty Z$ . Toda intersección contable de subconjuntos abiertos distinguidos de $Y$ se produce como el lugar donde dos mapas $Y \rightarrow X$ estar de acuerdo. Sin embargo, no toda intersección contable de subconjuntos abiertos es localmente cerrada, por lo que $X$ no puede ser un esquema.
Dado que la diagonal de un producto infinito de esquemas separados es cerrada, una cuestión más interesante es si un producto infinito de esquemas separados puede ser representable por un esquema. El ejemplo de Ilya demuestra que la respuesta es no.
Dejemos que $Z = \mathbf{A}^2 - 0$ . Esto representa el functor que envía $Spec A$ al conjunto de pares $(x,y) \in A^2$ generando la unidad ideal. El producto infinito $X = \prod_{i = 1}^\infty Z$ representa el functor que envía $A$ al conjunto de colecciones infinitas de pares $(x_i, y_i)$ generando la unidad ideal. Sea $B$ sea el anillo $\mathbf{Z}[x_i, y_i, a_i, b_i]_{i = 1}^\infty / (a_i x_i + b_i y_i = 1)$ . Hay un mapa obvio $Spec B \rightarrow X$ . Cualquier subfunctor abierto (no vacío) $U$ de $X$ determina un subfuntor abierto de $Spec B$ y éste debe contener un subconjunto abierto distinguido definido por la invertibilidad de alguna $f \in B$ . Desde $f$ puede implicar a lo sumo un número finito de variables, el subconjunto abierto determinado por $f$ debe contener la preimagen de algún subconjunto abierto $U'$ en $\prod_{i \in I} Z$ para algún conjunto finito $I$ . Sea $I'$ sea el complemento de $I$ . Si elegimos un punto cerrado $t$ de $U'$ entonces $U$ contiene la imagen previa de $t$ como un subfuntor cerrado. Dado que la preimagen de $t$ es $\prod_{i \in I'} Z \cong X$ esto demuestra que cualquier subfunctor abierto de $X$ contiene $X$ como un subfuntor cerrado.
En particular, si $X$ es un esquema, cualquier afín abierto no vacío contiene un esquema isomorfo a $X$ como un subesquema cerrado. Un subesquema cerrado de un esquema afín es afín, por lo que si $X$ es un esquema es afín.
Ahora sólo tenemos que mostrar $X$ no es un esquema afín. Es un subfuntor de $W = \prod_{i = 1}^\infty \mathbf{A}^2$ Así que si $X$ es un esquema afín, es localmente cerrado en $W$ . Desde $X$ no está contenido en ningún subconjunto cerrado de $W$ excepto $W$ esto significa que $X$ está abierto en $W$ . Pero entonces $X$ puede definirse en $W$ utilizando sólo un número finito de variables, lo cual es imposible.
Editar: Laurent Moret-Bailly ha señalado en los comentarios que mi argumento anterior para este último punto no tiene sentido. He aquí una revisión: Supongamos por el contrario que $X$ es un esquema afín. Entonces el morfismo $p : X \rightarrow X$ que proyecta un solo factor es un morfismo afín. Si restringimos este mapa a una fibra cerrada entonces recuperamos la proyección de $Z$ a un punto, que ciertamente no es afín. Por lo tanto, $X$ no podría haber sido afín en primer lugar.
