Ortogonalidad en un anillo matricial

Question

1. " Una matriz real cuadrada es ortogonal si y sólo si sus columnas forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$ ." Estoy buscando una generalización de ese hecho en Matrix Rings.
2. Si $A \in M_n(R)$ es un anillo de matrices tal que $A^{-1} = A^T$ . es cierto que todas las columnas de $A$ son ortogonales?

Sin embargo, sólo conozco unos pocos datos sobre los Anillos Matrix: Vamos a $R$ sea un anillo conmutativo.

1. Las columnas de $A\in M_n(R)$ son l.i si y sólo si $det(A)$ no es un cero diviros.

2. Los ideales de $M_n(R)$ están en biyección con los ideales de $R$ . Y los ideales sobre $M_n(R)$ son matrices con entradas en un ideal $I$ en $R$ .

¿Dónde puedo encontrar un libro sobre los anillos de Matrix? O una página donde pueda encontrar más datos al respecto. Estoy interesado en conocer datos sobre la ortogonalidad en un anillo matricial.

Answer 1

Para responder a tu primera pregunta, ¿qué significa que dos vectores en $R^n$ para ser ortogonal? Existe una forma bilineal simétrica \begin{align*} R^n \times R^n &\longrightarrow R \\ (v,w) &\longmapsto \langle v,w\rangle := \sum_{i=1}^n v_i w_i \end{align*} y puedes llamar a dos vectores $v,w\in R^n$ ortogonal si $\langle v,w\rangle = 0$ . Si quieres hacerlo, entonces sí, $A^{-1}=A^T$ es equivalente a todas las columnas de $A$ siendo ortogonal. Eso es sólo la definición del producto de la matriz.

Para su segunda pregunta, el página de wikipedia cita el libro de Lam, llamado Conferencias sobre módulos y anillos . Tiene todo un capítulo sobre los anillos matriciales que incluye todos los datos que has mencionado y algunos más. Tal vez sea un buen lugar para empezar.