$u_n\to u \implies u_n'(x)\to u'(x)$ si $u_n, u\in C^1(I)$ ?

Question

Dejemos que $I$ sea un intervalo cerrado y acotado (¿importará esto?). Sea $u_n(x)$ sea una secuencia de $C^1(I)$ funciones tales que $u_n\to u\in C^1(I)$ . Parece que deberíamos tener en ese caso (¿es cierto?) que $u_n'(x)\to u'(x)$ . Pero no estoy seguro de si o por qué puedo intercambiar los dos límites $\lim\limits_{n\to \infty}u_n'(x)=\lim\limits_{n\to \infty}\lim\limits_{h\to 0}\frac{u_n(x+h)-u_n(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\lim\limits_{n\to \infty}\frac{u_n(x+h)-u_n(x)}{h}=u'(x)$ .

Answer 1

Que esto sea cierto depende de lo que se entienda por la hipótesis $u_n\to u$ . Si te refieres a la convergencia en la norma habitual para $C^1(I)$ entonces esto implica $u_n'\to u'$ más o menos por definición. Pero asumiendo sólo $u_n\to u$ uniformemente no es suficiente.

Por ejemplo, dejemos $$u_n(t)=\sin(n^2t)/n.$$ Entonces $u_n\to0$ uniformemente en $\Bbb R$ pero $u_n'(0)$ diverge como $n\to\infty$ .