Dejemos que $R$ sea un anillo de valoración. No suponemos que sea discreto ni que tenga un campo de residuos finito. Sea $T$ sea un toro dividido sobre $R$ Así que $T\cong {\mathbb G}_m^r$ para algunos $r$ . Dejemos que se dé un homomorfismo de esquemas de grupo $T\to {\rm PGL}_n$ definido sobre $R$ ¿existe una elevación a un morfismo $T\to {\rm GL}_n$ definido sobre $R$ ? Espero que esto esté en algún lugar de la literatura, pero no pude localizarlo.
Respuesta
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La obstrucción a la elevación viene dada por una extensión central $E$ de $T$ por $\mathbb{G}_m$ . Tal extensión debe ser conmutativa porque el conmutador induce un bi-homorfismo $T\times T\to\mathbb{G}_m$ y cada uno de estos mapas es trivial. Así que $E$ es un toro, y la extensión es dual a una extensión del esquema de grupo constante $\underline{\mathbb{Z}}$ por $\underline{\mathbb{Z}}^r$ por lo que es trivial. El argumento funciona sobre cualquier esquema base $S$ satisfaciendo $H^1(S,\underline{\mathbb{Z}})=0$ .
