Demostrar que todo número natural $n >6$ puede escribirse como una suma $a+b$ donde $a, b∈\mathbb N\setminus\{1\}$ et $ \gcd(a, b) = 1$

Question

¿Es este el enfoque correcto para este problema? He probado la inducción. Esto es lo que dijo el profesor: Pista: Tratar los casos $n$ incluso e impar por separado.

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Hipótesis inductiva:

$n=a+b$ para $n>6$

Caso base

Dejemos que $n = 7$ . Entonces $3+4=7$ donde $3,4$ tienen un gccd de $1$ .

Paso de inducción

Paso de inducción: Probar: $n+1=a+b$

Caso 1: Que $a$ sea $a + 1$ . Esto es posible porque $a$ está en los números naturales. Así que $a+b+1=n+1$ . Por la hipótesis inductiva $n=a+b$ para que podamos sustituirlo. Por lo tanto $n+1=n+1$ .

Caso 2: Que $b$ sea $b+1$ . Esto es simétrico al caso uno.

Answer 1

En realidad, la inducción no es necesaria. Suponiendo que $n>6$ tenemos que $\varphi(n)$ es par y $\geq 4$ .
Una vez que elegimos algunos $a\in[1,n-1]$ que es coprima con $n$ también tenemos que $b=n-a$ es coprima con $n$ y $a,b$ no pueden tener divisores comunes excepto $1$ ya que un divisor común no trivial de $a,b$ sería un divisor común no trivial de $a,n$ .

En particular, basta con elegir $a$ como el primo más pequeño $\nmid n$ y $b$ como $n-a$ .