norma de diferencia de matrices similares

Question

Dejemos que $a,b \in C^n$ ; $A, B\in C^{n\times n}$ . Si $A$ y $B$ son matrices similares, es decir, existe una matriz no singular $S\in C^{n\times n}$ tal que $B=S^{-1}AS$ ¿es posible demostrar una desigualdad de la siguiente forma $$ \|B.a-A.b\| \leq Q.\|a-b\| $$ donde $Q$ es alguna expresión y la norma es cualquier norma vectorial?

Answer 1

Toma $a = b$ . Si $Q$ existiera, tendríamos que $\|Ba - Aa\| = 0$ . Por lo tanto,

$$ 0 = Ba-Aa = (B-A)a. $$

Tenga en cuenta que esto es absurdo cuando $a \not \in \ker (B-A)$ . Por ejemplo, tome $a = e_1$ , $B = 2I_n, A = I_n$ .