Topología débil generada por mapas de identidad

Question

Dejemos que $(X, \tau_1)$ y $(X,\tau_2)$ sean dos espacios topológicos que tengan el mismo conjunto subyacente X.
Dejemos que $\tau$ sea la topología más pequeña en $X$ tal que los mapas de identidad $I_1 : (X,\tau) \rightarrow (X,\tau_1)$ y $I_2 : (X,\tau) \rightarrow (X,\tau_2)$ son continuos.

Entonces, si ambos $(X,\tau_1)$ y $(X,\tau_2)$ son espacios topológicos separables. ¿Implica esto que $(X,\tau)$ será separable?

Answer 1

No es así; he aquí un contraejemplo.

Dejemos que $Y=\{y_k:k\in\Bbb N\}$ y $Z=\{z_k:k\in\Bbb N\}$ sean conjuntos disjuntos contablemente infinitos. Dos subconjuntos de $\Bbb N$ se dice que son casi disjuntos si su intersección es finita; sea $\mathscr{D}$ sea una familia incontable de subconjuntos casi disjuntos de $\Bbb N$ . (Se pueden encontrar dos construcciones de dicha familia en esta respuesta .) Sea $X=Y\cup Z\cup\mathscr{D}$ . Sea

$$\mathscr{I}=\big\{\{y_k\}:k\in\Bbb N\big\}\cup\big\{\{z_k:k\}\in\Bbb N\big\}\;.$$

Para cada $D\in\mathscr{D}$ dejar $D_Y=\{y_k:k\in D\}$ y $D_Z=\{z_k:k\in D\}$ y que

$$\mathscr{B}_1(D)=\{D\}\cup\{D_Y\setminus F:F\subseteq Y\text{ and }F\text{ is finite}\}$$

et

$$\mathscr{B}_2(D)=\{D\}\cup\{D_Z\setminus F:F\subseteq \text{ and }F\text{ is finite}\}\;.$$

Dejemos que

$$\mathscr{B}_1=\mathscr{I}\cup\bigcup_{D\in\mathscr{D}}\mathscr{B}_1(D)\qquad\text{and}\qquad\mathscr{B}_2=\mathscr{I}\cup\bigcup_{D\in\mathscr{D}}\mathscr{B}_2(D)\;;$$

$\mathscr{B}_1$ y $\mathscr{B}_2$ son las bases de las topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ respectivamente, en $X$ . Ambas topologías son separables: $Y\cup Z$ es denso en ambos.

La topología más gruesa $\tau$ en $X$ haciendo los mapas de identidad de $\langle X,\tau\rangle$ a $\langle X,\tau_1\rangle$ y $\langle X,\tau_2\rangle$ continua es la unión de $\tau_1$ y $\tau_2$ es decir, la topología generada por la subbase $\tau_1\cup\tau_2$ que tiene como base los conjuntos de la forma $U\cap V$ con $U\in\tau_1$ y $V\in\tau_2$ . Claramente $\mathscr{I}\subseteq\tau$ . Sea $D\in\mathscr{D}$ sea arbitraria, y que $U=\{D\}\cup Y$ y $V=\{D\}\cup Z$ Entonces $U\in\tau_1$ y $V\in\tau_2$ Así que $\{D\}=U\cap V\in\tau$ . Así, $\tau$ es la topología discreta sobre el espacio incontable $X$ y $\langle X,\tau\rangle$ no es separable.