teoría trascendental de Galois

Question

Supongamos que definimos una extensión de campo arbitraria $K/F$ para ser Galois si, para todas las subextensiones $L$ de $K/F$ tenemos $K^{\operatorname{Aut}(K/L)} = L$ . En palabras: para cualquier elemento $x$ de $K \setminus L$ existe un automorfismo $s$ de $K$ tal que $s(l) = l$ para todos $l$ en $L$ pero $s(x) \neq x$ . (Tenga en cuenta que en el caso $K/F$ es algebraico, esto es de hecho una propiedad característica de las extensiones de Galois). ¿Qué son las extensiones trascendentales de Galois?

En mis notas aproximadas Teoría de Galois trascendental Demostraré que si $F$ tiene la característica $0$ y $K$ es algebraicamente cerrado, entonces $K/F$ es Galois en el sentido anterior. [En realidad, estas notas son algo incompletas. Al no haber podido completar la prueba de la conjetura que se expone a continuación, he omitido algunos de los detalles más sencillos. Si alguien quiere ver más detalles sobre cualquier cosa en estas notas, por favor hágamelo saber].

También conjeturé: si $K/F$ es Galois, entonces $K/F$ es algebraica, normal y separable, o $F$ tiene la característica $0$ y $K$ es algebraicamente cerrado. ¿Es esto cierto?

Comentario: Es fácil ver que si $K/F$ no es algebraico, entonces $K$ debe tener la característica $0$ . Es posible modificar un poco la pregunta para que no se descarte el caso de la característica positiva, pero me gustaría entender qué pasa en la característica $0$ ¡primero!

En mis notas, muestro que la respuesta afirmativa se desprende de una conjetura (posiblemente) menos extraña sobre los cierres de Galois de los subcampos de campos de funciones racionales. Si hay algún interés, reproduciré esta conjetura aquí explícitamente.

Answer 1

Incluso en nuestros días de sofisticados motores de búsqueda, parece que el éxito de una búsqueda depende a menudo de conocer exactamente la palabra clave correcta.

Acabo de seguir el comentario de Sylvain Bonnot más arriba. La propiedad de una extensión de campo $K/F$ que para todas las subextensiones $L$ tenemos $K^{\operatorname{Aut}(K/L)} = L$ es aparentemente más comúnmente llamado Dedekind . Esta terminología aparece en el ejercicio V.9 de la obra de Bourbaki Álgebra II donde se pide al lector que demuestre que si $L/K$ es una extensión Dedekind no algebraica y $T$ es una base de trascendencia, entonces $L/K(T)$ debe tener un grado infinito. Irónicamente, esto es exactamente lo que pude demostrar en mi nota. Se puede (en el caso general, incluso...) reducir inmediatamente al caso $T = \{t\}$ y entonces el ejercicio está diciendo que el campo de la función $K(C)$ de una curva algebraica (de nuevo, no es una pérdida de generalidad suponer que el campo de funciones es regular ampliando $K$ ) no es Dedekind sobre $K$ . ¡Es una extraña coincidencia! [Sin embargo, la prueba que doy es abiertamente geométrica por lo que probablemente no es la que N.B. tenía en mente...]

También aparece en

MR0067098 (16,669f) Barbilian, D. Solution exhaustive du problème de Steinitz. (Resumen en rumano, ruso y francés) Acad. Repub. Pop. Române. Stud. Cerc. Mat. 2, (1951). 195-259 (error de imprenta 189-253).

En este trabajo, el autor demuestra que $L/K$ es una extensión Dedekind si para todas las subextensiones $M$ el cierre algebraico $M^*$ de $M$ en $L$ es tal que $M^*/M$ es Galois en el sentido habitual: es decir, normal y separable. (Esto es un hecho bonito, supongo, y no lo sabía antes, pero parece que el autor consideraba esto como una solución al problema de qué extensiones son Dedekind. No estoy de acuerdo con eso, ya que no responde a mi pregunta).

Al parecer, no hay que leer el documento anterior, sino éste:

MR0056588 (15,97b) Krull, Wolfgang Sobre una generalización del concepto de cuerpos normales. (Alemán) J. Reine Angew. Math. 191, (1953). 54-63.

Aquí está la reseña de MathSciNet por E.R. Kolchin (que sabía algo sobre extensiones trascendentales de extensiones de Galois):

El autor revisa una definición y algunos resultados de D. Barbilian [Solutia exhaustiva a problemai lui Steinitz, Acad. Repub. Pop. Române. Stud. Cerc. Mat. 2, 189--253 (1950), no disponible en este país], proporcionando pruebas que se dicen más simples, y otros resultados. Sea L una extensión de un campo K. Entonces L se llama normal sobre K si para cada campo intermedio M el cierre algebraico relativo M∗ de M en L es normal (en el sentido habitual) sobre M. Si L tiene la propiedad de que cada M está determinado unívocamente por el grupo de automorfismo U(M) de L sobre M, entonces L es normal sobre K y, si la característica p=0, a la inversa; si p>0 la inversa falla pero se obtiene una cierta conclusión más débil. Se encuentran varios resultados adicionales y se exploran los aspectos constructivos de las extensiones normales. Se discuten algunas cuestiones abiertas, siendo la más importante: ¿Existen extensiones normales trascendentales que no sean algebraicamente cerradas?

Así que parece que mi pregunta es un problema de hace casi 60 años que fue considerado pero dejado sin resolver por Krull. Estoy tentado de abandonar oficialmente en este punto, y quizás escribir una nota expositiva informando (¿y advirtiendo?) a los lectores contemporáneos sobre este círculo de ideas. Los comentarios, sugerencias y/o consejos serán bienvenidos...

P.D.: Muchas gracias a M. Bonnot.

Answer 2

Hay una discusión sobre el concepto de "extensiones trascendentales de Galois" en el artículo "On the transcendental Galois extensions" de Feng-Wen An: http://arxiv.org/abs/1004.5036 . En la terminología de este trabajo, una extensión de campo arbitraria $L/K$ se dice que Galois sobre $K$ si $L^{\operatorname{Aut}(L/K)}=K$ . Una extensión de campo $L/K$ se llama Galois absoluto sobre $K$ si para cada subextensión $L\supseteq F\supseteq K$ la extensión $L/F$ es Galois sobre $F$ . Esta última corresponde a su definición de extensión de Galois para campos arbitrarios.

Según este documento, la respuesta a su segunda pregunta parece ser negativa: la extensión de campo "absoluta de Galois" $\mathbb{C}(t)/\mathbb{C}$ es un contraejemplo ya que $\mathbb{C}(t)$ no es algebraicamente cerrado, ni algebraico sobre $\mathbb{C}$ .

Answer 3

Por alguna razón no pude añadir este comentario al hilo sobre las pruebas rápidas en la teoría de modelos, pero en realidad mi respuesta también encaja aquí. Las notas de Zilber son un capítulo en una nueva edición de un libro de Manin, Curso de Lógica Matemática para Matemáticos

Es posible que quieras mirar un ( http://people.maths.ox.ac.uk/~bays/dist/thesis )Tesis de doctorado de un estudiante de Zilber para una buena explicación de la teoría de modelos de algunas aritméticas de las curvas elípticas, y las referencias en ella, ( arxiv:0704.3561)ésta y ( DOI 10.1007/s10977-007-9015-0 ) ésta que menciona las curvas de Shimura.

En particular, estos trabajos tratan de los automorfismos de extensiones infinitas de campos algebraicamente cerrados, demostrando cosas por inducción teórica de modelos involucrados, etc. Tal vez los métodos de la teoría de modelos le resulten útiles para lo que sea que le interese en las extensiones trascendentales de Galois...