Demostrando son medibles

Question

La declaración del problema, todas las variables y dado/datos conocidos

La pregunta es de Stein y Shakarchi, Análisis Real 2, Capítulo 1, Problema 5:

Supongamos $E$ es medible con $m(E) < \infty$, y $E=E_1\cup E_2$, $E_1\cap E_2=\emptyset$.

Probar:

a) Si $m(E) = m^{*}(E_1) + m^{*}(E_2)$, $E_1$ $E_2$ son medibles.

b) En particular, si $E \subset Q$ donde $Q$ es de un número finito de cubo, $E$ es medible si y sólo si $m(Q) = m^{*}(E) + m^{*}(Q − E)$.

La definición de un "medible set' dado en el libro es que para cualquier $\epsilon > 0$ existe un conjunto abierto $O$$E \subset O$$m^{*}(O − E) \leq \epsilon$, así que estoy buscando una serie de consecuencias que me llevan de nuevo a esta definición.

todo lo que pude probar es que el si $E$ medibles de mi definición, iff $m(A) = m( A \cap E) + m(A \cap E^{c})$

Gracias de antemano por cualquier ayuda que me puedan dar - es muy apreciada.

Answer 1

Definimos el interior de medida $m_*$ de un conjunto $X$ $$m_*(X)=\sup_{F\in\mathcal{C}}\ m(F),$$ donde $\mathcal{C}$ es de la familia de subconjuntos cerrados de $X$.

A continuación, puede probar los siguientes lemas:

Lema 1 Para todos los $E$:

$i)$ $m_{\star}(E)\leq m^{\star}(E)$

$ii)$ Si $E$ es medible, a continuación,$m_*(E)=m^*(E)$. Si $m_*(E)=m^*(E)\lt \infty$ $E$ es medible.

Lema 2 Si $E$ es medible y $A$ es cualquier subconjunto de a $E$, luego $$m(E)=m_*(A)+m^*(E\setminus A).$$

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Ahora, tenga en cuenta que si $E_1\cap E_2=\emptyset$ $E=E_1\cup E_2$ $$\begin{align*} E\setminus E_2&= (E_1\cup E_2)\setminus E_2\\ &= E_1\setminus E_2\\ &= E_1\setminus (E_1\cap E_2)\\ &= E_1. \end{align*}$$

También tenga en cuenta que es suficiente para demostrar que $E_1$ es medible. Desde $E_2\subseteq E$, $m^*(E_2)\lt \infty$. Por su hipótesis y el lema 2 ha $$m(E)=m^*(E_1)+m^*(E_2)$$ y $$m(E)=m_*(E_1)+m^*(E_2).$$

Creo que se puede concluir que la prueba de este punto.