Demostración de la integración por partes para el movimiento browniano y la función de variación acotada

Question

Busco a alguien que me ayude a terminar mi prueba para una versión de Integración por Partes. Estoy tratando de demostrar que si $f$ es una función continua de Variación Limitada, entonces $$\int_0^t f(s)dBs = f(t)B_t - \int_0^t B_sdf(s)$$ Por definición de la Integral de Ito sabemos que para cualquier partición $\Pi = \{s_0,\ldots s_n\}$ donde $x_0=0,x_n=t$ que $$\lim_{|\Pi|\to0} \sum_{i=1}^n f(s_{i-1}) (B_{s_i}-B_{s_{i-1}})=\int_{0}^tf(s)dBs$$ Donde el límite converge en $L^2(P)$ . Ahora bien, el movimiento browniano tiene una trayectoria continua casi con seguridad. Para cualquier $\omega$ para que $s\to B_s(\omega)$ es continua, entonces $B_s(\omega)$ es integrable con respecto a $f$ desde $f$ es continua y de variación acotada. Así, $\int_0^t B_s(\omega)df(s)$ existe casi seguro. En particular $$\lim_{|\Pi|\to 0}\sum_{i=1}^n B_{s_i}(\omega)(f(s_i)-f(s_{i-1}))=\int_0^t B_s(\omega)df(s) $$ Lo que necesito es que me ayuden a demostrar que la convergencia es también en $L^2(P)$ .

Si puedo demostrar que la convergencia es también en $L^2(P)$ entonces \begin{align*}\int_0^t f(s)dBs + \int_0^t B_sdf(s) &= \lim_{|\Pi|\to 0}\sum_{i=1}^n f(s_{i-1}) (B_{s_i}-B_{s_{i-1}})+\sum_{i=1}^n B_{s_i}(f(s_i)-f(s_{i-1})) \newline &= \lim_{|\Pi|\to 0}\sum_{i=1}^n f(s_{i-1}) B_{s_i}-f(s_{i-1})B_{s_{i-1}}+f(s_i)B_{s_i}- f(s_{i-1})B_{s_i}\newline &= \lim_{|\Pi|\to 0}\sum_{i=1}^n f(s_i) B_{s_i}-f(s_{i-1}) B_{s_{i-1}}\\ &= f(t)B_t - f(0)B_0= f(t)B_t \end{align*} donde este es el $L^2(P)$ límite.

Answer 1

Consideremos la secuencia de particiones $\{\Pi_n\}$ en $[0,t]$ donde $\Pi_n\subset \Pi_{n+1}$ . Aquí $|\Pi_n| = \max |s_i-s_{i-1}|$ donde $\Pi_n = \{s_0, s_1, \ldots s_{m_n}\}$ , $0=s_0 < s_1 < \ldots < s_{l_n}=t$ y suponemos que $|\Pi_n|\to 0$ . Poner $$g_n(\omega)=\sum_{i=1}^{l_n}B_{s_{i}}(\omega)(f(s_i)-f(s_{i-1})) $$ Como el movimiento browniano es continuo casi seguro, entonces si $t\to B_t(\omega)$ es continua vemos que $g_n(\omega)\to \int_0^t B_s(\omega)df(s)$ ya que toda función continua es integrable por Riemann-Stieltjes respecto a cualquier función de variación acotada.

Ahora demostramos que $\{g_n\}$ es Cauchy en $L^2(P)$ . Supongamos que $n < m$ y sin pérdida de generalidad, podemos suponer que para cualquier $s_{i-1},s_i\in \Pi_n$ tenemos al menos una $\tau\in (s_{i-1},s_i) \cap \Pi_m$ . Podemos denotar todos los $\tau$ de la siguiente manera $s_{i-1} = \tau_{i,0}< \tau_{i,1} < \ldots < \tau_{i,j_i} = s_{i}$ . Entonces podemos escribir $g_m$ de la siguiente manera $$g_m(\omega)= \sum_{i=1}^{l_n} \sum_{k=1}^{j_i} B_{\tau_{i,k}}(\omega)(f(\tau_{k,i})-f(\tau_{i,k-1}))$$ También podemos reescribir $g_n$ de la siguiente manera $$g_n(\omega)= \sum_{i=1}^{l_n} \sum_{k=1}^{j_i} B_{s_{i}}(\omega)(f(\tau_{k,i})-f(\tau_{i,k-1})) $$ Por nuestra suposición sobre $\tau$ sabemos que $i_j \geq 2$ para todos $j$ para que $i_j-1\geq 1$ también. Teniendo esto en cuenta, calculamos que $$\begin{align*}\mathbb{E}[(g_n-g_m)^2] &= \mathbb{E}\Big[\Big(\sum_{i=1}^{l_n}\sum_{k=1}^{j_i -1} (B_{s_i}- B_{\tau_{i,k}})(f(\tau_{i,k})-f(\tau_{i,k-1}))\Big)^2\Big] \\ &= \sum_{r=1}^{l_n} \sum_{u=1}^{l_n} \sum_{w=1}^{j_r-1}\sum^{j_s-1}_{v=1} \mathbb{E}[(B_{s_r}-B_{\tau_{r,w}})(B_{s_u}-B_{\tau_{u,v}})](f(\tau_{r,w})-f(\tau_{r,w-1}))(f(\tau_{u,v})-f(\tau_{u,v-1})) \end{align*}$$ Ahora bien, si $u<r$ entonces tenemos que $\tau_{u,v}< s_u < \tau_{r,w}<s_r$ . Como el movimiento browniano tiene incrementos independientes, entonces $B_{s_r}-B_{\tau_{r,w}}$ y $B_{s_u}-B_{\tau_{u,v}}$ son independientes y ambos tienen $0$ medio. Así, $$ \mathbb{E}[(B_{s_r}-B_{\tau_{r,w}})(B_{s_u}-B_{\tau_{u,v}})]=\mathbb{E}[B_{s_r}-B_{\tau_{r,w}}]\mathbb{E}[B_{s_u}-B_{\tau_{u,v}}]=0$$ Lo mismo ocurre si $r < u$ . Por lo tanto, podemos escribir la afirmación anterior como $$\begin{align*} \mathbb{E}[(g_n-g_m)^2] &= \sum_{i=1}^{l_n}\sum_{k=1}^{j_i -1} \mathbb{E}[(B_{s_i}- B_{\tau_{i,k}})^2](f(\tau_{i,k})-f(\tau_{i,k-1}))^2\\ &= \sum_{i=1}^{l_n}\sum_{k=1}^{j_i -1} (s_i-\tau_{i,k})(f(\tau_{i,k})-f(\tau_{i,k-1}))^2\\ &\leq |\Pi_n|\sum_{i=1}^{l_n}\sum_{k=1}^{j_i -1} (f(\tau_{i,k})-f(\tau_{i,k-1}))^2\\ &\leq |\Pi_n|\Big(\sum_{i=1}^{l_n}\sum_{k=1}^{j_i} |f(\tau_{i,k})-f(\tau_{i,k-1})|\Big)^2\\ &\leq |\Pi_n|(V_0^t(f))^2\end{align*}$$ Aquí $V_0^t(f)$ es la variación total de $f$ ya que $f$ se supone que es de variación acotada entonces $V_0^t(f)<\infty$ . Desde $|\Pi_n|\to 0$ entonces podemos observar que $\{g_n\}$ es una secuencia de Cauchy en $L^2(P)$ . Desde $L^2(P)$ es un espacio de Banach, entonces $g_n \to g$ en $L^2(P)$ . Pero ya sabemos que $g_n\to \int_0^t B_sdf(s)$ $a.e$ Como tenemos convergencia en ambas topologías, los límites deben coincidir. Por lo tanto, $g_n \to \int_0^t B_sdf(s)$ en $L^2(P)$ .