Probando la identidad: $\sin3x + \sin x = 2\sin2x\cos x$

Question

Necesito ayuda para probar esta identidad:

$$\sin3x + \sin x = 2\sin2x\cos x$$

No sé por dónde empezar. He pensado en ampliar $\sin 3x$ en $\sin (2x + x)$ pero no creo que eso me sirva de nada. Se agradecerá cualquier consejo.

Gracias.

Answer 1

Considere $\sin(2x + x)$ y $\sin(2x-x)$ .

Answer 2

La manera más fácil:

$$\sin3x + \sin x = 2\sin2x\cos x$$

$$\frac {e^{i3x} - e^{-i3x}} {2i} + \frac {e^{ix} - e^{-ix}} {2i} = 2 \frac {e^{i2x} - e^{-i2x}} {2i} \frac {e^{ix} + e^{-ix}} {2}$$

$$\frac {e^{i3x} - e^{-i3x} + e^{ix} - e^{-ix}} {2i} = \frac {(e^{i2x} - e^{-i2x}) (e^{ix} + e^{-ix})} {2i}$$

$$\frac {e^{i3x} - e^{-i3x} + e^{ix} - e^{-ix}} {2i} = \frac {e^{i3x} + e^{ix} -e^{-ix} - e^{-i3x}} {2i}$$

Y ya está, gracias señor Euler.

Answer 3

SUGERENCIA:

$$\sin C+\sin D=2\sin\frac{C+D}2\cos\frac{C-D}2$$

De manera más general, $$\sin C\pm \sin D=2\sin\frac{C\pm D}2\cos\frac{C\mp D}2$$

Answer 4

Algunas ideas:

$$\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\sin x\cos2x=2\sin x\cos^2x+\sin x(\cos^2x-\sin^2x)=$$

$$=3\sin x\cos^2x-\sin^3x\ldots$$

Así,

$$\sin3x+\sin x=\sin x(3\cos^2x-\sin^2x+1)\stackrel{\text{trigonometric Pythagoras}}=4\sin x\cos^2x=$$

$$=2(2\sin x\cos x)\cos x=\ldots$$

Answer 5

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x$$

$$LHS =\sin(2x+x)+\sin x\\ =\sin2xcosx+\sin x\cos2x+\sin x\\ =2(\sin x \cos x)\cos x+\sin(cos^2x-\sin^2x)+\sin x\\ =2\sin x \cos^2x+\sin x \cos^2x-\sin^3x+\sin x\\ =\cos^2x(2\sin x+\sin x)-\sin^3x+\sin x\\ =(1-\sin^2x)3\sin x-\sin^3x+\sin x\\ =3\sin x-\sin^3x-\sin^3x+\sin x\\ =4\sin x-4\sin^3x\\ =4(\sin x-\sin x(1-\cos^2x)\\ =4(\sin x \cos^2x)\\ =4\sin x \cos^2x$$

RHS $$=2(2\sin x \cos x)\cos x\\ =4\sin x \cos^2x$$