Prueba de ecuaciones diofantinas: soluciones de $ax + by = dm$

Question

Dado $\gcd(a,b) = d$ Quiero demostrar que todas las soluciones enteras de la ecuación $ax + by = dm$ para algún número entero $m$ son de la forma $x = mx_0 + \frac{b}{d}k$ y $y = my_0 - \frac{a}{d}k$ . Esto es lo que tengo hasta ahora, pero no estoy seguro de cómo terminarlo. ¡Gracias de antemano!

$ax + by = dm = (ax_0 + by_0)m = ax_0m + by_0m = a(x_0m) + b(y_0m)$

$ax + by = a(x_0m) + b(y_0m) \implies ax - a(x_0m) = b(y_0m) - by \implies a(x - x_0m) = b(y_0m -y)$

Desde $gcd(a,b) = d$ , $d$ divide $a$ y $b$ . Así, $\frac{a}{d}(x - x_0m) = \frac{b}{d}(y_0m - y)$

Answer 1

Bueno añadiendo múltiplos de $b/d$ y $-a/d$ a cualquier solución $x$ y $y$ respectivamente, siempre dará lugar a otra solución, porque $a(x+kb/d)+b(y-ka/d)=dm$ . Así que parece que te has olvidado de un signo menos.

Tenga en cuenta que $a/d$ y $b/d$ son coprimos. Así podemos obtener la inversa, que esto agota todas las soluciones, observando que dadas dos soluciones $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ tenemos $a/d(x_1-x_2)=b/d(y_2-y_1) \stackrel{\text{Euclid's lemma}}{\implies} x_1-x_2=kb/d $ . Del mismo modo, $y_2=y_1+ka/d$ .

Answer 2

Entiendo la prueba general de la Ecuación Diofantina cuando $ax + by = d,$ donde $d = gcd(a,b),$ pero estoy atascado en cómo cambia la prueba para un múltiplo del gcd

Es sencillo transformar una solución en la otra, tras recordar su lineal génesis.

Recall que la solución general de una ecuación lineal $\,L(x,y) := ax+by = d\,$ es la suma de cualquier particular solución $\,(x_0,y_0)$ más la solución general de la asociada $\rm\color{#c00}{homogeneous}$ ecuación $\,L(x,y) = \color{#c00}0,\,$ que aquí es $\,(x,y) = k(b,-a)/d$ .

Ahora $L(x,y) = md\,$ tiene la misma ecuación homogénea asociada, por lo que la misma solución homogénea, y el escalamiento produce una solución particular: $\, md = mL(x_0,y_0) = L(m(x_0,y_0)),\,$ así que $m(x_0,y_0)$ es una solución particular. Por lo tanto, $\,L(x,y) = md\,$ tiene la solución general

$$(x,y)\, =\, \underbrace{m(x_0,y_0)}_{\rm particular} + \underbrace{k(b,-a)/d}_{\rm homogeneous}\, =\, (mx_0+kb/d,\, my_0-ka/d)\qquad $$

Resumiendo $ $ el proceso de transformación de la solución en general:

Si $\,L\,\bar x_0 = d\ $ & $\ [L\,\bar x = 0 \!\iff\! \bar x = \bar x_h]\,$ entonces $\,L\,\bar x = d\,$ tiene solución general $\ \bar x\, =\, \bar x_0\, +\,\bar x_h$

$\Rightarrow L\,m\bar x_0 = md,\,$ por lo que deducimos que $\, L\bar x = md\,$ tiene solución general $\,\bar x = m\bar x_0 + \bar x_h$

por ejemplo, del cálculo: un simple lineal ecuación diferencial

$\ D f\, =\, x\iff f = \frac{1}2 x^2 + c\,\ $ ( $f= c\,$ es la solución general de la forma homogénea $\,D f = 0)$

$D f = m x\!\iff\! f = \frac{m}2 x^2 + c,\,$ simplemente escalando la solución particular por $\,m,\,$ como en el caso anterior, es decir $\,\ D_x^{-1}(mx)\, =\, m\:\! D_x^{-1}(x),\ $ es decir $\ \int_x mx = m\int_x x$ .