Si tengo un subespacio de $\mathbb C^n$ que está atravesado por $N$ vectores base complejos. ¿Podría abarcar el mismo espacio con $N$ vectores base que tienen cada uno componentes reales? (pero, por supuesto, utilizando coeficientes complejos)?
Respuesta
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Consideremos el espacio vectorial $\mathbb{C}^{2}$ sobre el campo $\mathbb{C}$ . Consideremos ahora el subespacio abarcado por $\left[\begin{array}{c} 1\\ i \end{array}\right]$ . Es decir, $$\text{span}\left(\left[\begin{array}{c} 1\\ i \end{array}\right]\right)=\left\{ \left(z\left[\begin{array}{c} 1\\ i \end{array}\right]\right)\in\mathbb{C}^{2}\mid z\in\mathbb{C}\right\}. $$ Claramente $\left[\begin{array}{c} 1\\ i \end{array}\right]$ está en este espacio. ¿Puedes encontrar un vector $v\in\mathbb{R}^{2}$ s.t. $zv=\left[\begin{array}{c} 1\\ i \end{array}\right]$ para algunos $z\in\mathbb{C}$ ? Intenta y convéncete de que no puedes.
