Hay una serie de comentarios que hacer sobre la fórmula de intersección de Serre y su relación con la geometría algebraica derivada.
En primer lugar, debemos ser un poco más cautelosos con la atribución. La idea de utilizar "anillos derivados" para dar una versión intrínseca de la fórmula de intersección de Serre no es reciente. La idea se remonta al menos a las ideas de Deligne, Kontsevich, Drinfeld y Beilinson en los años 80 (y posiblemente antes). Estas ideas se han precisado de varias maneras, en particular en los trabajos de Kapranov & Ciocan-Fontaine, y Toën & Vezzosi. EDITAR : Como me recordó Ben-Zvi más adelante, también hay que mencionar a Behrend y Behrend-Fantechi sobre los esquemas DG y las clases fundamentales virtuales. Por supuesto, el trabajo de Lurie ha sido el más completo y potente en su tratamiento de los fundamentos de DAG, pero es importante entender que su trabajo surgió en el contexto de estas fascinantes ideas.
Ahora, sólo para proporcionar un poco de contexto, permítanme recordar cómo la fórmula de Serre surge de las consideraciones del DAG. Empecemos usando la notación anterior, pero supongamos por simplicidad que $X$ , $Y$ y $Z$ son todos esquemas locales. (Algunos de los tecnicismos de DAG surgen al hacer que la teoría de gavillas funcione con algún tipo de "anillos derivados", así que nuestra discusión será más fácil si ignoramos eso por ahora). Así que escribimos $X=\mathrm{Spec}(A)$ , $Y=\mathrm{Spec}(B)$ y $Z=\mathrm{Spec}(C)$ para los anillos locales $A$ , $B$ y $C$ .
Ahora bien, si nuestro objetivo es la intersección $Y$ y $Z$ en $X$ Sabemos cómo hacerlo algebro-geométricamente. Formamos el producto fibra $Y\times_XZ=\mathrm{Spec}(B\otimes_AC)$ . El producto tensorial que aparece aquí es realmente lo que vamos a alterar. Para ello, vamos a considerar $B$ y $C$ como (discreto) simplicial (conmutativo) $A$ -algebras y vamos a formar el producto tensorial derivado. Esto produce un nuevo anillo conmutativo simplicial $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$ cuyos grupos de homotopía son exactamente los grupos $\mathrm{Tor}^A_i(B,C)$ . La multiplicidad de la intersección es simplemente la longitud de $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$ como un simplicial $A$ -módulo.
Como dice Ben Webster, la verdadera alegría de DAG está en pensar en la geometría de nuestro nuevo anillo derivado $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$ como una sola unidad en lugar de pensar sólo en sus grupos de homotopía incorpóreos. La pregunta que planteas parece ser: ¿pensar geométricamente en este artilugio nos ayuda a demostrar las conjeturas de multiplicidad de Serre de una manera más conceptual?
La respuesta corta es: no lo sé. No creo que se haya anunciado una nueva prueba de ninguna de ellas usando DAG (y definitivamente no está en ninguno de los artículos de Lurie), y en cualquier caso no creo que DAG tenga el potencial de hacer las conjeturas "fáciles". Pero déjame ver si puedo argumentar la siguiente idea: revisar el método original de Serre de reducción a la diagonal en el contexto de DAG.
Recordemos que, si $k$ es un campo, si $A$ es un $k$ -y si $M$ y $N$ son $A$ -módulos, entonces $$M\otimes_AN=A\otimes_{A\otimes_kA}(M\otimes_kN).$$ Por lo tanto, para entender $\mathrm{Tor}^A_{\ast}(M,N)$ Basta con entender $\mathrm{Tor}^{A\otimes_kA}_{\ast}(A,-)$ . Esto permitió a Serre reducir al caso de la diagonal en $\mathrm{Spec}(A\otimes_kA)$ . El punto clave aquí es que todo es plano sobre $k$ por lo que Serre sólo pudo utilizarlo para demostrar las conjeturas de multiplicidad para $A$ esencialmente de tipo finito sobre un campo. Obsérvese que la misma igualdad se mantiene si trabajamos en el entorno derivado: si $M$ y $N$ son simplificadas $A$ -módulos, y $A$ es un $R$ -entonces el producto tensorial derivado de $M$ y $N$ en $A$ puede calcularse como $$A\otimes^{\mathbf{L}}_{A\otimes^{\mathbf{L}}_RA}(M\otimes^{\mathbf{L}}_RN).$$ El artilugio de la derecha (o, estrictamente hablando, su homotopía) tiene un nombre familiar para los topólogos; es el Homología de Hochschild $\mathrm{HH}^R(A,M\otimes^{\mathbf{L}}_RN)$ .
La esperanza es que hayamos elegido $R$ con la suficiente astucia como para que $B\otimes^{\mathbf{L}}_RC$ es "menos complicado" que $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$ . (Más concretamente, queremos que el $\mathrm{Tor}$ -amplitud de $M$ y $N$ a disminuir cuando pensamos en ellos como $R$ -módulos. Hay una forma particular de construir $R$ pero permítanme omitir este punto).
¿Ha mejorado nuestra situación? Quizás sólo un poco: hemos convertido nuestro problema de mirar la intersección derivada $Y\times^h_XZ$ en el estudio de la intersección derivada de la diagonal interior $X\times^h_RX$ con algún subesquema derivado más sencillo $Y\times^h_RZ$ del mismo. Pero ahora podemos intentar iterar esto, trabajando inductivamente.
No sé si esto puede funcionar, por supuesto.
