Hace casi 25 años, un profesor de la Universidad de Indiana me mostró el siguiente problema:
dado un mapa $\mathbb{Z}^2\rightarrow\mathbb{R}$ tal que la suma dentro de cada cuadrado (paralelo a los ejes) es $\leq1$ en valor absoluto, demostrar que la suma dentro de cada rectángulo (paralelo a los ejes) es $\leq4$ en valor absoluto.
Es divertido y no es demasiado difícil de probar. Creo que en su momento pude demostrar que el límite superior se puede mejorar hasta 3,975 - pero eso fue mucho más difícil y no puedo decir ahora que sea seguro. Además, con una búsqueda en el ordenador (el viejo TRS 80) produje un ejemplo que contenía un rectángulo de área $3\frac{1}{3}$ .
Estas son algunas de las preguntas que se me ocurren:
- ¿se puede mejorar el límite superior de 4 (o 3,975?)?
- puede el límite inferior de $3\frac{1}{3}$ ¿se puede mejorar?
- ¿alguna prueba/conjetura sobre el límite óptimo?
- ¿los resultados se extienden a los mapas $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ ¿Siempre que sean lo suficientemente "amables"?
- ¿Son posibles otras generalizaciones de este problema (por ejemplo, diferentes inclinaciones del plano o de otras variedades, o dimensiones más altas)?
Actualización 1 (actualizada el 7 de marzo de 2010) . ¡Vea las respuestas y los comentarios más abajo para ver ejemplos que logran ratios tan altos como 181/48 = 3,7708333...!
Actualización 2 . Aquí está un esquema de la prueba de que 4 es un límite superior. Ahora se conoce un límite de 254/67=3,79104477... (ver respuestas más abajo), pero la prueba para ello necesita ser sembrada con al menos algún límite conocido.
Dado un rectángulo R de tamaño AxB, con A < B, llámalo "delgado" si $B\geq2A$ o "gordo" si $B\leq2A$ (el caso B=2A es irrelevante ya que es la unión de 2 cuadrados). Se pueden dibujar los 4 cuadrados en los lados de R, bien hacia fuera (tamaño del sobre = (2B+A)x(2A+B)), o bien hacia dentro (algunos se derraman por los lados opuestos, tamaño del sobre = (2B-A)xB) - llámese "sobre grande" y "sobre pequeño".
Supongamos que R tiene la suma 4+ $\epsilon$ y que cada cuadrado tiene una suma entre -1 y 1. Tenemos 3 casos, todos ellos ejercicios fáciles de resolver:
(1) para cualquier R, el sobre grande gordo (2A+B)x(2B+A) tendrá suma $\leq-4-3\epsilon$ .
(2) para un R gordo, un sub-rectángulo (2A-B)x(2B-A) de la envolvente pequeña tendrá suma $\leq-4-3\epsilon$ ;
(3) para una R delgada, un sub-rectángulo delgado (B-2A)x(2B-A) de la envoltura pequeña, tendrá suma $\geq4+3\epsilon$ ;
Aplicando cualquiera de (1)+(2), (2)+(1) o (3)+(3) se obtiene un rectángulo de 3Ax3B con suma $\geq4+9\epsilon$ . Al iterar n veces se obtiene un $3^{n}A \times 3^{n}B$ rectángulo con suma $4+9^{n}\epsilon$ . Dicho rectángulo está formado por no más de AxB cuadrados (cada uno de tamaño $3^{n} \times 3^{n}$ ) y por lo tanto, para un n suficientemente grande, uno de los cuadrados tendrá una suma >1. $\square$
Reformulación . Dado un grupo abeliano G y un mapa
f: GxGxGxG -> $\mathbb{R}$ tal que
1) -1<=f(a,b,c,d)<=1 si d*a=c*b (acotación de los cuadrados),
2) f(a,b,c,d)+f(c,b,e,d)=f(a,b,e,d) para todos los a, b, c, d, e en G (aditividad horizontal de los rectángulos),
3) f(a,b,c,d)+f(a,d,c,e)=f(a,b,c,e) para todos los a, b, c, d, e en G (aditividad vertical de los rectángulos),
¿podemos encontrar un mejor límite universal b(G) tal que -b(G) <= f <= b(G)?
Todo el trabajo anterior sobre esta cuestión equivale al resultado 181/48 <= b( $\mathbb{Z}$ ) <= b( $\mathbb{Z}x\mathbb{Z}$ ) <= 254/67
Para los grupos no abelianos quizás se podría generalizar la noción de "cuadrado" elevándola desde G/[G,G].
