Demostrar que $\int_{\mathbb{R}^n} \frac{dx}{(1+|x|^2)^n}$ es finito.
Aquí $|x|^2 := x_1^2+\dots+x_n^2$ es la norma de $x$ . La afirmación es claramente cierta para $n=1$ . Para $n=2$ tenemos $$ \int_{\mathbb{R}^2} \frac{dx_1 dx_2}{(1+x_1^2+x_2^2)^2}\le \int_{\mathbb{R}^2} \frac{dx_1 dx_2}{(x_1^2+x_2^2)^2} \le \int_{\mathbb{R}^2} \frac{dx_1 dx_2}{x_1^2+x_2^2} \le\,\, ?$$ ¿Cómo puedo proceder con esto? Me he dado cuenta de que la integral es par, y siento que necesito encontrar un límite superior para esta integral que sea la $n$ -potencia de una integral que es finita y que puede ser fácilmente calculada (por ejemplo la $n=1$ -integral); algo así como $$ \int_{\mathbb{R}} \frac{dx_1}{1+x_1^2}\int_{\mathbb{R}} \frac{dx_2}{1+x_2^2}\cdots\int_{\mathbb{R}} \frac{dx_n}{1+x_n^2}.$$ Gracias de antemano.
