Un anillo es conmutativo si la solución de $ab=ca$ es siempre único

Question

Gallian 12.8: Demuestre que un anillo es conmutativo si $ab=ca \implies b=c$ cuando $a\neq 0$ .

Es una declaración de impar. Intenté abordar el problema demostrándolo directamente o por contradicción, pero sinceramente no llegué a ninguna parte. Espero alguna pista.

Answer 1

Dejemos que $x,y\in R$ , $x\neq 0$ . Queremos mostrar $xy=yx$ . Establecer $a=x$ , $b=yx$ , $c=xy$ . Entonces $ab=xyx=ca$ así que $b=c$ así que $xy=yx$ .

Para $x=0$ claramente también tenemos $xy=yx$ para todos $y$ .