Aproximación de $\sin\left(\frac{x}{n}\right)$

Question

En mis notas de análisis escribí lo siguiente: $\sin\left(\dfrac{x}{n}\right) = -\dfrac{x}{n} + \omicron\left(\left| \dfrac{x}{n} \right|\right)$ .

Supongo que viene de la fórmula de Taylor, pero no entiendo cómo han llegado a ese resultado.

Además, decía: $\sin\left(\dfrac{x}{n}\right)^2 = \dfrac{x^2}{n^2} + \omicron\left(\left| \dfrac{x^2}{n^2} \right|\right)$

¿Simplemente asumimos que como $ \omicron\left(\left| \dfrac{x}{n} \right|\right) \rightarrow 0 \implies$ $(\sin\left(\dfrac{x}{n}\right) = -\dfrac{x}{n} + \omicron\left(\left| \dfrac{x}{n} \right|\right))^2 = \sin\left(\dfrac{x}{n}\right)^2 = \dfrac{x^2}{n^2} + \omicron\left(\left| \dfrac{x^2}{n^2} \right|\right)$

Answer 1

La serie taylor para $\sin y$ alrededor de $y=0$ es $$ \sin y=y-\frac{y^{3}}{3!}+\frac{y^{5}}{5!}+\cdots. $$ Enchufar $y=x/n$ para conseguir $$ \sin\frac{x}{n}=\frac{x}{n}\underbrace{-\frac{x^{3}}{n^{3}3!}+\frac{x^{5}}{n^{5}5!}+\cdots.}_{o(|\frac{x}{n}|)} $$