Las matrices son conmutables si $ABv=BAv$ ?

Question

Si $A$ y $B$ son ambos $n \times n$ matrices, y $v$ es un valor no nulo $n \times 1$ vector columna entonces es cierto que si $$ABv = BAv$$ entonces $$AB=BA$$

Answer 1

La respuesta corta es NO.

No se puede decir $AB = BA$ si $ABv = BAv$ para algún vector $v$ .

Sin embargo, si $ABv = BAv$ es verdadera para todos los vectores $v$ (o) al menos para $n$ vectores linealmente independientes $v$ entonces es cierto que $AB = BA$ .

Answer 2

Supongamos que $AB = C.$ Entonces tenemos $ABv= Cv =BAv$ para todos $v.$

¿Se siente cómodo diciendo $BA = C$ ¿Ahora? ¿Conoces algún teorema sobre la unicidad de las matrices de transformaciones lineales bajo bases fijas?

Edición: A la luz de la otra respuesta, debo aclarar, que esto es cierto sólo para todos $v.$