Grupo de Galois de $(x^3-2)(x^2-2)$ en $\mathbb{Q}$

Question

Quiero encontrar el grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ de $(x^3-2)(x^2-2).$

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Ya sé que el grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ de $f(x) = x^3-2$ es isomorfo a $S_3$ y hay cuatro campos intermedios entre el campo de división de $f$ y $\mathbb{Q}$ : $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}),\,\mathbb{Q}(\omega),\,\mathbb{Q}(\omega\sqrt[3]{2}),\,\mathbb{Q}(\omega^2\sqrt[3]{2}),$ donde $\omega$ es una primitiva $3^\mathrm{rd}$ raíz de la unidad. Es fácil comprobar que $\sqrt{2}$ no pertenece a uno de estos campos intermedios, así que por el teorema fundamental, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\not\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega).$ Ahora tenemos que $$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega,\sqrt{2}) : \mathbb{Q}]=12.$$ Aquí es donde estoy atascado. No sé cómo concluir cuál es el grupo de Galois del polinomio, aparte de que es algún subgrupo de $S_6$ de orden $12$ .

Answer 1

Bien, ya sabes cuáles son los automorfismos generadores del grupo de Galois, a saber $\sigma, \tau, \rho$ que actúan como sigue sobre los generadores del campo de división: $$\sigma(\sqrt[3]{2}) = \omega\sqrt[3]{2}; \sigma(\omega) = \omega; \sigma(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$$ $$\tau(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}; \tau(\omega) = \omega^{2}; \tau(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$$ $$\rho(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}; \rho(\omega) = \omega; \rho(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$$ Ahora, calculamos $$(\sigma\rho)(\sqrt[3]{2}) = \omega\sqrt[3]{2}; (\sigma\rho)(\omega) = \omega; (\sigma\rho)(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$$ Es fácil ver que $\sigma\rho$ tiene orden $6$ (¿por qué?). Además, $(\sigma\rho)^{-1} = \rho^{-1}\sigma^{-1} = \rho\sigma^{2}$ . Por último, hay que tener en cuenta que $\sigma$ y $\rho$ de viaje al trabajo, así como $\tau$ y $\rho$ y $\sigma, \tau$ obedecen a las relaciones $\sigma\tau = \tau\sigma^{2}$ . Ahora, su grupo $G$ no puede ser abeliano, y debe contener $S_{3}$ . Un buen candidato para $G$ es por lo tanto $D_{6}$ que es no abeliana de orden $12$ y contiene una copia isomorfa de $D_{3} \cong S_{3}$ . Sea $\beta = \sigma\rho$ . Entonces $$\beta\tau = \sigma\rho\tau = \sigma\tau\rho = \tau\sigma^{2}\rho = \tau\rho\sigma^{2} = \tau\beta^{-1}$$ Además, $\beta^{4} = \sigma$ , $\beta^{3} = \rho$ Así que $G$ tiene la presentación $\langle \beta, \tau \mid \beta^{6} = \tau^{2} = e, \beta\tau = \tau\beta^{-1}\rangle \cong D_{6}$ .