Si $\cos{x}*\cos{2x}=\frac{1}{4}$ , $x\in[0,90^o)$ entonces, ¿cuál es la solución de la ecuación?

Question

Si $\cos{x}*\cos{2x}=\frac{1}{4}$ , $x\in[0,90^o)$ entonces, ¿cuál es la solución de la ecuación?

He intentado resolver esta cuestión de la siguiente manera:

$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$

$\implies \cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=\frac{1}{4}$

$\cos^3{x}-\sin{x}(\cos{x}\sin{x})$

Y me quedé atascado aquí, no sabía cómo continuar. Introduje algunos valores para $x$ y se ha calculado que $x=36^o$ es la solución. ¿Podría ayudarme a resolver esta cuestión?

Answer 1

Desde $x \neq 0$ multiplicando ambos lados por $4\sin x$ y utilizando la fórmula del ángulo doble, $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \,$ dos veces, se obtiene $$\sin 4x = \sin x$$

de donde $$4x+x=\pi \Rightarrow x=\pi/5=36^{\circ}$$

Answer 2

$\cos x\cdot \cos(2x) = \dfrac{1}{4} \implies 4\cos x\cdot (2\cos^2 x - 1) =1\implies 8\cos^3x-4\cos x-1=0$ . Observe que $\cos x = -\frac{1}{2}$ es una solución. ¿Puedes terminar con el factoring?

Answer 3

$\cos x(2\cos^2x-1)=\frac 14=(-\frac 12)^2$

$\rightarrow\cos x=-\frac 12=\cos (\pi-\frac{\pi}3) $

$\rightarrow x=(2k+1)\pi-\frac{\pi}3$