La condición necesaria y suficiente para $\textbf{global}$ planitud conformada de una (pseudo)manifestación riemanniana de n dimensiones

Question

Existe un teorema :

1) La (pseudo)-manifestación riemanniana de 2 dimensiones debe ser localmente plana y conforme;

2) La (pseudo)-manifestación riemanniana de 3 dimensiones es localmente plana y conforme si el tensor de Cotton desaparece.

3) La (pseudo)-manifestación riemanniana n-dim (n>3) es localmente plana conforme si el tensor de Weyl desaparece.

Entonces tengo curiosidad por saber cuál es la condición necesaria y suficiente para $\textbf{global}$ planitud conformada de una (pseudo)manifestación riemanniana de n dimensiones $(M,g)$ es decir, existe una función $\Omega(x)$ definida en todo el colector tal que $g=\Omega^2 \eta$ , donde $\eta$ es la métrica plana.

¿Existe alguna bibliografía o libro de texto sobre esta cuestión? Gracias.

Answer 1

Agrego un pequeño $\varepsilon$ a la respuesta de Robert, que es una simple explicación y un simple ejemplo para lo que dijo en relación con el caso de 2 dim. La estructura conforme de firma (1,1) en la superficie es esencialmente la misma que un par de transversales en todas partes
foliaciones. Bueno, hasta una cubierta doble, para ser precisos.

En efecto, para una métrica, el cono de líneas luminosas en cada punto son dos rectas en el espacio tangente que se cruzan en el origen. Las foliaciones vienen dadas por la condición de que sean tangentes a estas rectas.

Se sabe (véase, por ejemplo, la sección 5.1 de http://lanl.arxiv.org/abs/1002.3934 ) que para las métricas globalmente planas estas foliaciones son de alguna manera estándar: además cualquier toro plano es un cociente de $(R^2, g=dxdy)$ por un enrejado. También es fácil construir foliaciones que no son ``estándar'', es decir, construimos fácilmente una foliación tal que tiene una componente de Reeb. La estructura conformacional correspondiente a esta foliación es conformacionalmente plana, ya que en dimensión 2 cualquier métrica es conformacionalmente plana, pero no es globalmente conformacionalmente plana