Cómo demostrar que esta función es continua

Question

Consideremos la siguiente función sobre $[0,1]$ : $$ f(x) = \begin{cases} 1/m, & \text{if $x={m\over n} \in \Bbb Q$} \\ 0, & \text{if $x$ $\notin \Bbb Q$} \\ \end{cases}$$

Aquí, como siempre, $\Bbb Q$ es la colección de todos los números racionales y suponemos que $m$ y $n$ no tienen divisores comunes. Demostrar que la función $f$ es continua en cualquier punto $x \in [0,1]$ \ $\Bbb Q$ . (cualquier irracional en $[0,1]$ )

Por favor, da una prueba rigurosa, o simplemente puedes darme una pista.

Answer 1

Sugerencia Dejemos que $x$ sea cualquier irracional en $(0,1)$ . Entonces, para cualquier $n >0$ sólo hay un número finito de fracciones en $(0,1)$ cuyo denominador es menor que $n$ . Así, puedes encontrar uno de ellos, llamémoslo $\frac{k}{m}$ que está más cerca de $x$ .

Pero entonces si $y$ está más cerca que $\frac km$ a $x$ Entonces, o bien $y$ es irracional, o es racional y tiene un denominador mayor que $n$ .

Esta es la idea principal de la prueba, deberías ser capaz de escribirla fácilmente ahora con $\epsilon, \delta$ ...

Answer 2

Basta con demostrar que si $r\in [0,1]$ es irracional y $(q_i)$ es una secuencia en $[0,1]$ convergiendo a $r$ entonces $\lim\limits_{i\to\infty} f(q_i)=f(r)=0$ . Desde $f(q_i)=0$ para cualquier irracional $q_i$ podemos ignorar los irracionales y asumir $q_i$ es racional para todos los $i$ por lo que escribimos $q_i=m_i/n_i$ . Para cada $n\in\mathbb N$ , dejemos que $X_n=\{m/k\in [0,1]:0<k\leq n\}$ . Tenga en cuenta que $X_n$ es finito y que $r\notin X_n$ , por lo que tenemos algunos $\epsilon>0$ tal que $|r-m/k|>\epsilon$ para todos $m/k\in X_n$ . Desde $m_i/n_i\to r$ tenemos algunos $N\in\mathbb N$ tal que $i\geq N \implies |r-m_i/n_i|<\epsilon$ Por lo tanto $i\geq N\implies n_i>n$ . Si elegimos $N$ tal que $i\geq N|\implies |r-m_i/n_i|>r/2$ , obtenemos que $m_i/n_i>r/2$ y así $m_i>nr/2$ Por lo tanto $f(m_i/n_i)<\frac{2}{nr}$ . Dejar $n\to \infty$ vemos que el $f(m_i/n_i)\to 0$ , según se desee.