¿La identidad de Vandermonde? ¿Cómo continuar?

Question

Lo he hecho:

$$\sum\limits_{k = 1}^{10}k\binom{10}{k}\binom{20}{10-k} = $$

y sé que no importa si $k = 0$ por lo que también es igual:

$$= \sum\limits_{k = 0}^{10}k\binom{10}{k}\binom{20}{10-k} = $$

y ahora realmente recuerda la identidad de Vandermonde por lo que es tentador escribir:

$$= \binom{30}{10} \cdot \sum\limits_{k = 1}^{10}k = \binom{30}{10} \cdot 10!$$

pero parece incorrecto porque en números más pequeños las ecuaciones no se mantienen... ¿Cuál es la forma correcta de continuar para obtener una expresión equivalente sin sigma?

Answer 1

Vale, ¡he encontrado una respuesta algebraica!

$$\begin{align} &\sum\limits_{k=1}^{10}k\binom{10}{k}\binom{20}{10-k}\\= &\sum\limits_{k=0}^{10}k\binom{10}{k}\binom{20}{10-k} \\=&\sum\limits_{k = 0}^{10}k\cdot\frac{10!}{(k)!(10-k)!}\binom{20}{10-k} \\= &\sum\limits_{k = 0}^{10}\frac{10!}{(k-1)!(10-k)!}\binom{20}{10-k} \\=&\sum\limits_{k = 0}^{10}10\cdot \frac{9!}{(k-1)!(10-k)!}\binom{20}{10-k} \\ = &\sum\limits_{k = 0}^{10}10\cdot \frac{9!}{(k-1)!(9 - (k-1))!}\binom{20}{10-k} \\=&\sum\limits_{k = 0}^{10}10\cdot \binom{9}{k-1}\binom{20}{10-k} \\ = &10\cdot \sum\limits_{k = 0}^{10}\binom{9}{k-1}\binom{20}{10-k} \\= &10\cdot \sum\limits_{k = 0}^{9}\binom{9}{k}\binom{20}{9-k} \\= &10 \cdot \binom{29}{9} \end{align}$$

Answer 2

Sugerencia: Utilice la identidad de Vandermonde:

http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity

Supongo que se puede escribir como $S =\sum_{k=0}^{r} k\pmatrix{m \\ k}\pmatrix{n \\ r-k}$ .

No ponga r = k-1 y escriba la expresión que es S'

$ S = r{(m+n-1)\choose r-1}$

En este caso r = 10, m= 10 y n = 20.

$S = \sum_{k=0}^{10} k \pmatrix{10 \\ k}\pmatrix{20 \\ 10-k} = 10{29\choose9}$

Answer 3

Lo siguiente no responde a la pregunta, pero sí a encontrar una expresión bonita para la suma.

Una caja tiene $10$ rosquillas de chocolate y $20$ rosquillas simples. Agarramos $10$ rosquillas al azar. Sea la variable aleatoria $X$ sea el número de rosquillas de chocolate que cogemos. Entonces $$\Pr(X=k)=\frac{\binom{10}{k}\binom{20}{10-k}}{\binom{30}{10}},$$ y por lo tanto la suma del problema es igual a $\dbinom{30}{10}E(X)$ .

Queda por calcular $E(X)$ . Sea la variable aleatoria indicadora $Y_i$ se define por $Y_i=1$ si el $i$ -el donut que cogemos es de chocolate, y $Y_i=0$ de lo contrario.

Entonces $X=Y_1+\cdots+Y_{10}$ por lo que por la linealidad de la expectativa tenemos $E(X)=E(Y_1)+\cdots +E(Y_{10})$ .

Fácilmente $E(Y_i)=\frac{10}{30}$ Así que $E(X)=10\cdot \frac{10}{30}$ y hemos terminado.

Nota: : El argumento se desvió a través de la probabilidad, específicamente la media. Tal vez se podría llamar un prueba de la media .