Cómo encontrar esta ecuación entero solución: $x^2y^2=4x^5+y^3$

Question

encontrar $x,y\in Z$,y de tal manera que $$x^2y^2=4x^5+y^3$$

y yo uso mathmatical me dan:

yo:

Deje $gcd(x,y)=d$ y poner $x=da, y=db$, $a$ $b$ coprime:

$d^4a^2b^2 = 4d^5a^5 + d^3b^3 \Rightarrow da^2b^2=4d^2a^5+b^3$. Por lo tanto, tenemos que $a|b^3$, y como $gcd(a,b)=1$, $a=1$ o $a=-1$. Conectar de nuevo, tenemos $4d^2-db^2+b^3=0$ o $4d^2+db^2-b^3=0$.

El discriminante, en el primer caso, se $b^4-16b^3$, que debe ser un cuadrado perfecto. Por lo tanto, $b^2-16b = k^2$ donde $k$ es un número entero. Esto nos da $(b-8)^2 - k^2 = 64$.

Por tanto, tenemos los siguientes pares: $(125,3025), (27, 486), (54, 972), (32, 512)$.

En el segundo caso, el discriminante es $b^4+16b^3$, que debe ser un cuadrado perfecto de nuevo. Por lo tanto, $b^2+16b=l^2$ donde $l$ es un número entero. Esto nos da $(b+8)^2-l^2 = 64$.

Por tanto, tenemos los siguientes pares: $(0,0), (2,-4), (-1,2), (27, -243)$

mi intento es cierto? y tienen otros métodos?

Answer 1

He aquí otro enfoque:

$$x^2 y^2 = 4 x^5 + y^3$$

Esto es trivialmente satisfecho por $x=0, y=0$ $x=0 \Leftrightarrow y = 0$

Ahora suponga $x,y \ne 0$

Por un extraño prime $p$ supongamos $p^n \parallel x$, e $p^m \parallel y$,$x = p^n \tilde{x}$$y = p^m \tilde{y}$, por lo que el $p \nmid \tilde{x}$ $p \nmid \tilde{y}$

Entonces tenemos

$$p^{2(n+m)} \tilde{x}^2 \tilde{y}^2 = 4 p^{5n} \tilde{x}^5 + p^{3m} \tilde{y}^3$$

Ahora si $m > \frac{5}{3}n$

$$3m - 5n > 3 \frac{5}{3}n - 5n = 0$$ $$2(n+m) - 5n > 2(n+\frac{5}{3}n) - 5n = \frac{1}{3}n \ge 0$$

y

$$ p^{2(n+m)-5n} \tilde{x}^2 \tilde{y}^2 = 4 \tilde{x}^5 + p^{3m-5n} \tilde{y}^3 \Rightarrow p | \tilde{x}$$

Y si $n > \frac{3}{5}m$

$$5n - 3m > 5 \frac{3}{5}m - 3m = 0$$

$$2(n+m) - 3m > 2(\frac{3}{5}m+m) -3m = \frac{1}{5}m \ge 0$$

y

$$ p^{2(n+m)-3m} \tilde{x}^2 \tilde{y}^2 = 4 p^{5n-3m} \tilde{x}^5 + \tilde{y}^3 \Rightarrow p | \tilde{y}$$

Por lo tanto debemos tener $3m = 5n$, y $n = 3k$, $m = 5k$ para algunos $k \in \mathbb{N}_0$.

Así, para cada impar primo, p, $p^{3k} \parallel x$ $p^{5k} \parallel y$ algunos $k \in \mathbb{N}_0$. De ello se desprende que $x,y$ son de la forma

$$x= 2^a z^3, y = \pm 2^b z^5$$ where $a,b \in \mathbb{N}_0, z\in \mathbb{Z}$ is an odd integer. (Note the sign of $x$ is determined by $z$)

Ahora tenemos

$$2^{2(a+b)} z^{16} = 2^{5a+2} z^{15}\pm 2^{3b} z^{15}$$

Y con el caso trivial $z=0$ excluidos

$$2^{2(a+b)} z = 2^{5a+2} \pm 2^{3b} $$

Ahora si $b > \frac{5a + 3}{3}$

$$3b - (5a+2) > 3 \frac{5a + 3}{3} -(5a+2) = 1 > 0$$ $$2(a+b) -(5a+2) > 2(a+\frac{5a+3}{3}) -(5a+2) = \frac{1}{3}a \ge 0$$ y $$2^{2(a+b)-(5a+2)} z = 1 \pm 2^{3b-(5a+2)} \Rightarrow 2 | 1$$

Ahora si $a < \frac{3a}{5}b$

$$5a+2 - 3b > 5 \frac{3}{5}b - 3b = 1 > 0$$ $$2(a+b) - 3b > 2(\frac{3b}{5}+b) -3b = \frac{1}{5}b \ge 0$$ y

$$2^{2(a+b)-3b} z = 2^{5a+2-3b} \pm 1 \Rightarrow 2 | 1$$

Por lo tanto debemos tener $5a \le 3b \le 5a+3$

Deje $c = 3b - 5a, c=0,1,2,3$

$$2(a+b) = 2(a+ \frac{5a + c}{3}) = \frac{16a + 2c}{3}$$

$$2^{(16a + 2c)/3} z = 2^{5a+2} \pm 2^{5a+c} $$

$$2^{(a + 2c)/3} z = 4 \pm 2^{c} $$

Para $c=0$,

$2^{a/3} z = 4 \pm 1 \Rightarrow a=0, b=0, z=3,5$

$(x,y)=(2^0 3^3,- 2^0 3^5), (2^0 5^3, 2^0 5^5) = (27,-243), (125,3125)$

Para $c=1$,

$2^{(a+2)/3} z = 4 \pm 2 \Rightarrow a=1, b=2, z=1,3$

$(x,y)=(2^1 1^3,-2^2 1^5), (2^1 3^3,2^2 3^5)=(2,-4), (54,972)$

Para $c=2$,

$2^{(a+4)/3} z = 4 \pm 4 \Rightarrow a=5, b=9, z=0,1$

$(x,y)=(2^5 0^3,-2^9 0^5), (2^5 1^3,2^9 1^5)=(0,0), (32,512)$

Para $c=3$,

$2^{(a+6)/3} z = 4 \pm 8 \Rightarrow a=0, b=1, z=-1,3$

$(x,y)=(2^0(-1)^3,-2^1(-1)^5), (2^0 3^3,2^1 3^5)=(-1,2), (27,486)$

Esta es una de las más generalizable método que el anterior, que requiere que los poderes combinados de $x$ $y$ en cada término de la cubierta no mayor de un rango de $2$ con el fin de obtener una ecuación cuadrática en $d$. Por ejemplo, cerca de un idéntico tratamiento resuelve $x^2 y^6 = 2^5 x^{13} + y^7$.

Answer 2

La ecuación básica se define aquí para el real $(x,y)$ así, por: $$ x^2 y^2 = 4 x^5 + y^3 $$ Ver la imagen, la ventana $-200 < x < +200$ , $-4000 < y < +4000$ .
Es claro que $(x,y) = (0,0)$ es un (entero) solución de la ecuación y que $x = 0 \leftrightarrow y = 0$ . $\color{red}{Tangents}\,$ en la curva se calcula implícita diferenciación: $$ 2 x y^2 + x^2 2 y y' = 20 x^4 + 3 y^2 y' \quad \Longrightarrow \quad y' = \frac{20 x^4 - x 2 y^2}{2 y x^2 - 3 y^2} $$ Horizontales tangentes en: $$ 20 x^4 - x 2 y^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad y^2 = 10 x^3 $$ Sustituir en la ecuación básica para la obtención de: $$ x^2 y^2 = 4 x^5 + y^3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 \cdot 10 x^3 = 4 x^5 + 10 x^3 y $$ Nos han cubierto la solución trivial $(0,0)$ así que olvídate de que en la secuela. $$ 6 x^2 = 10 y \quad \Longrightarrow \quad 36 x^4 = 100 y^2 = 1000 x^3 \quad \Longrightarrow \quad (x_S,y_S) = \left(\frac{10^3}{6^2},\sqrt{\frac{10^{10}}{6^6}}\right) $$ El Especial punto de S es importante para el numéricos de trabajo que sigue. Verticales tangentes en: $$ 2 y x^2 - 3 y^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{2}{3} x^2 $$ Sustituir en la ecuación básica para la obtención de: $$ x^2 \cdot \frac{4}{9} x^4 = 4 x^5 + \frac{8}{27} x^6 \quad \Longrightarrow \quad \frac{4}{27} x = 4 \quad \Longrightarrow \quad (x,y) = (27,486) $$ El último pasa a ser uno de los enteros soluciones !
El resto del método es la fuerza bruta.
Es claro a partir de la imagen que hay cuatro ramas:

• uno que se extiende desde $(0,0)$ hacia menos infinito en el cuadrante $x > 0$ , $y < 0$
  se indica como Un
• uno que se extiende desde $(0,0)$ hacia más infinito en el cuadrante $x < 0$ , $y > 0$
  indicado como B
• uno que se extiende desde el punto especial S hacia más infinito en el lado derecho
  en el cuadrante $x > 0$ , $y > 0$ , indicado como C
• uno que se extiende desde el punto especial S hacia más infinito en el lado izquierdo
  en el cuadrante $x > 0$ , $y > 0$ , indicado como D

Por lo tanto, cuatro "crawlers" están contenidas en el programa de ordenador, que es se enumeran a continuación.
Los buscadores buscan entero de soluciones de rastreo a lo largo de la cuatro ramas de la curva, por algún tiempo, hasta que alguien llega a la Ctrl-C clave para detener. Es claramente inferior a la del método presentado por otro autor: Neil), pero encuentra todas las soluciones, a excepción de algunos banales.

programa de krabbel;

la función pow(x : double; n : integer) : doble;
var
 p : doble;
 k : integer;
comenzar
 q := 1;
 para k := 1 hasta n hacer
 q := q * x;
 pow := q;
end;

la función f(x,y : doble) : doble;
comenzar
 f := pow(x,2)*pow(x,2) - (4*pow(x,5) + pow(y,3));
end;

procedimiento crawl_A;
var
 x,y : integer;
 g : doble;
comenzar
 x := 0; y := 0;
 mientras que el verdadero ¿
comenzar
 y := y - 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
 mientras que el g > 0 hacer
comenzar
 x := x + 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
end;
end;
end;

procedimiento crawl_B;
var
 x,y : integer;
 g : doble;
comenzar
 x := 0; y := 0;
 mientras que el verdadero ¿
comenzar
 y := y + 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
 mientras que el g < 0
comenzar
 x := x - 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
end;
end;
end;

procedimiento crawl_C;
var
 x,y : integer;
 g : doble;
comenzar
 x := Round(pow(10,3)/pow(6,2));
 y := Round(sqrt(pow(10,10)/pow(6,6)));
 mientras que el verdadero ¿
comenzar
 y := y + 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
 mientras que el g > 0 hacer
comenzar
 x := x + 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
end;
end;
end;

procedimiento crawl_D;
var
 x,y : integer;
 g : doble;
comenzar
 x := 27; y := 486;
 mientras que el verdadero ¿
comenzar
 y := y + 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
 mientras que el g < 0
comenzar
 x := x + 1;
 g := f(x,y);
 si g = 0 then Writeln(x,' a ',y);
end;
end;
end;

comenzar
{ crawl_A; crawl_B; } crawl_C; { crawl_D; }
final.

Resultados de la $\;\rightarrow picture: \color{red}{dots}$

con la mano:
0 0
27 486

crawl_A:
2 -4
27 -243

crawl_B:
-1 2

crawl_C:
32 512
54 972
125 3125

crawl_D:
nada