Encuentre una expresión para $n$ en términos de $x$ , $y$ y $z$ .

Question

A un determinado tipo de interés compuesto, $100$ aumentará a $200$ en $x$ años, $200$ aumentará a $300$ en $y$ años, y $300$ aumentará a $1,500$ en $z$ años. Si $600$ aumentará a $1,000$ en $n$ año, encontrar una expresión para $n$ en términos de $x$ , $y$ y $z$ .

Lo sé:

$600(1+i)^n = 1000$

Yo escribí:

$200 = 100(1+i)^x$

$300 = 100(1+i)^{x+y}$

$1500 = 100(1+i)^{x+y+z}$

Además, sé que :

$600=100(1+i)^{2x+y}$

Por lo tanto:

$1000=100((1+i)^{x+y+z}-(1+i)^{x+z}-(1+i)^x)$

$1000=100(1+i)^{2x+y}((1+i)^{-x+z}-(1+i)^{-x}-(1+i)^{-x-y})$

$1000=600((1+i)^{-x+z}-(1+i)^{-x}-(1+i)^{-x-y})$

$(1+i)^n=(1+i)^{-x+z}-(1+i)^{-x}-(1+i)^{-x-y}$

Necesito conseguir $n$ en función de $x$ , $y$ y $z$

Tengo un problema con mi última línea. ¿Alguien sabe una forma más rápida de obtener la solución?

Answer 1

Hagámoslo limpio y sencillo. En lugar de $1+i$ , voy a poner $q$ como la tasa. Y anularé todos los términos innecesarios. Así que tenemos $$ 2 = q^x \qquad \frac{3}{2} = q^y \qquad 5 = q^z $$ Ahora queremos hacer la relación $\frac{10}{6}$ con estos. Podemos "masajear" un poco la expresión: $$ \frac{10}{6} = \frac{2 \cdot 5}{ \left( \frac{3}{2} \right)\cdot 2 \cdot 2} = \frac{5}{ \left( \frac{3}{2} \right)\cdot 2} = 5 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{-1} \cdot (2)^{-1} $$ Ahora sólo tienes que introducir los valores conocidos y ya está.