Siempre puedo decir que cualquier operación "personalizada" en $Z_n$ es conmutativo y asociativo?

Question

Tengo muchos ejercicios que dicen algo parecido:

Dado, en el conjunto $Z_{15}$ la siguiente operación binaria $*$ $$\forall a,b \in Z_{15}, a*b = \overline6(a+b)\ -\ \overline5ab$$

Esto es sólo un ejemplo, la operación podría ser cualquier otra que haga sumas y multiplicaciones (sin involucrar a los inversos). Siempre puedo decir (escribir en el ejercicio) sin probar manualmente que es asociativo y conmutativo porque $Z_{15}$ es un conmutativo y anillo unario ?

Answer 1

Algo que generalmente se puede hacer, es buscar una biyección con un conjunto que tenga una operación binaria $\oplus$ del que se sabe que tiene las propiedades deseadas. Aquí es bastante evidente: Sea $$ f\colon \mathbf Z/15\rightarrow \mathbf Z/3\times\mathbf Z/5 $$ sea el mapa que envía $\overline a$ a la pareja $(a\bmod 3,a\bmod 5)$ . Esto está bien definido como $3$ y $5$ dividir $15$ . El teorema chino del resto afirma que $f$ es una biyección, pero se puede ver fácilmente: si $a\bmod3=0$ y $a\bmod5=0$ entonces $a$ es divisible por $3$ y por $5$ . Desde $3$ y $5$ son relativamente primos, $a$ también es divisible por $15$ es decir, $\overline a=0$ . Esto demuestra que el núcleo del morfismo de grupo $f$ es cero. Por lo tanto, $f$ es inyectiva. Como el dominio y el codominio de $f$ son finitos y de la misma cardinalidad, $f$ es una biyección.

Ahora bien, como $6\equiv 0\bmod3$ , $-5\equiv1\bmod3$ , $6\equiv1\bmod5$ y $-5\equiv 0\bmod5$ , uno tiene $$ f(\overline a*\overline b)=f(\overline 6(\overline a+\overline b)-\overline 5\overline a\cdot \overline b)= (0(\overline a+\overline b)+\overline a\cdot\overline b,\overline a+\overline b-0\overline a\cdot\overline b)= (\overline a\cdot\overline b,\overline a+\overline b), $$ escribir $\overline{\cdot}$ para las reducciones modulo $15$ , $3$ y $5$ para simplificar la notación. Se observa que $$ f(x*y)=f(x)\oplus f(y) $$ donde $\oplus$ es la operación binaria sobre $\mathbf Z/3\times\mathbf Z/5$ definido por $$ (x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2)=(x_1y_1,x_2+y_2). $$ Desde $f$ es una biyección, todas las propiedades de $\oplus$ también se satisfacen con $*$ ¡! Por ejemplo, como se sabe que $\oplus$ es asociativo, $*$ es asociativo, y así sucesivamente.

De hecho, así es como los profesores construyen operaciones binarias inusuales para que compruebes la conmutatividad, la asociatividad u otras propiedades.