Campos con grupo de automorfismo trivial

Question

¿Existe una buena caracterización de los campos cuyo grupo de automorfismo es trivial? Estos son los datos que conozco.

1. Todo campo primo tiene un grupo de automorfismo trivial.
2. Supongamos que L es una extensión finita separable de un campo K tal que K tiene un grupo de automorfismo trivial. Entonces, si E es una extensión de Galois finita de K que contiene L el subgrupo $Gal(E/L)$ en $Gal(E/K)$ es autonormalizante si y sólo si L tiene un grupo de automorfismo trivial. (Como se ha señalado en los comentarios, una extensión de campo obtenida por adición de una raíz de un polinomio genérico cuyo grupo de Galois es el grupo simétrico completo satisface esta propiedad).
3. El campo de los números reales tiene un grupo de automorfismo trivial, porque los cuadrados van a los cuadrados y, por lo tanto, se preserva la positividad, y entonces podemos utilizar el hecho de que los racionales son fijos. Del mismo modo, el campo de los números reales algebraicos tiene un grupo de automorfismo trivial, y cualquier subcampo de los reales que se cierra al tomar raíces cuadradas de números positivos tiene un grupo de automorfismo trivial.

Mis preguntas:

1. ¿Existen otras familias de ejemplos de campos que tengan grupo de automorfismo trivial? Por ejemplo, ¿hay familias que incluyan los p-adics? [EDIT: Una de las respuestas más abajo indica que los p-adics también tienen grupo de automorfismo trivial].
2. ¿Para qué campos es cierto que el campo no puede estar incrustado dentro de ningún campo con grupo de automorfismo trivial? Creo que cualquier automorfismo de un campo algebraicamente cerrado puede extenderse a cualquier campo que lo contenga, aunque no tengo una prueba) [EDIT: Una de las respuestas de abajo refuta la afirmación parentética, aunque no construye un campo que contenga un campo algebraicamente cerrado con grupo de automorfismo trivial]. Sospecho que $\mathbb{Q}(i)$ no puede estar incrustado dentro de ningún campo con grupo de automorfismo trivial, pero tampoco soy capaz de encontrar una prueba para esto. [EDIT: De nuevo, me refutan en una de las respuestas de abajo]. Ni siquiera soy capaz de dar una razón conceptual de por qué $\mathbb{Q}(i)$ difiere de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ que se puede incrustar en los números reales.

AÑADIDO EL 26 DE SEPTIEMBRE : Todas las preguntas anteriores han sido contestadas, pero la única pregunta que queda es: ¿puede todo campo estar incrustado en un campo con grupo de automorfismo trivial? Responder a la pregunta en general es equivalente a responderla para campos algebraicamente cerrados.

Answer 1

Como ha señalado Robin, para todos los primos $p$ , $\mathbb{Q}_p$ es rígido es decir, no tiene automorfismos no triviales. Es una especie de coincidencia que preguntes, ya que pasé gran parte del último $12$ horas escribiendo un material sobre los campos multiples completos que tiene aplicaciones aquí:

Teorema (Schmidt): Sea $K$ sea un campo que es completo con respecto a dos normas no triviales no equivalentes (es decir, las dos normas inducen topologías no discretas distintas). Entonces $K$ es algebraicamente cerrado.

Corolario: Sea $K$ sea un campo completo con respecto a una norma no trivial y no algebraicamente cerrado. Entonces todo automorfismo de $K$ es continua con respecto a la topología de la norma. (Prueba: Para decir que $\sigma$ es un automorfismo discontinuo es decir que la norma de retroceso $\sigma^*|| \ ||: x \mapsto ||\sigma(x)||$ no es equivalente a $|| \ ||$ . Por tanto, se aplica el teorema de Schmidt.

En particular, esto se aplica para demostrar que $\mathbb{Q}_p$ y $\mathbb{R}$ son rígidos, ya que todo automorfismo continuo está determinado por sus valores en el subespacio denso $\mathbb{Q}$ por lo que la identidad es la única posibilidad. (Es posible dar una prueba mucho más elemental de estos hechos, por ejemplo, utilizando la clasificación de Ostrowski de los valores absolutos en $\mathbb{Q}$ .)

En el otro extremo, cada campo algebraicamente cerrado $K$ tiene el mayor grupo de automorfismo concebible: $\# \operatorname{Aut}(K) = 2^{\# K}$ : por ejemplo, el teorema 80 de

http://alpha.math.uga.edu/~pete/FieldTheory.pdf .

Hay un teorema muy bonito de Bjorn Poonen que recuerda, aunque no responde directamente, a tu otra pregunta. Para cualquier campo $K$ cualquier cosa, y cualquier $g \geq 3$ existe un género $g$ campo de la función $K(C)$ en $K$ tal que $\operatorname{Aut}(K(C)/K)$ es trivial. Sin embargo, puede haber otros automorfismos que no fijen $K$ en el sentido de la palabra.

También hay un sentido en el que para cada $d \geq 3$ Si eliges un título $d$ polinomio $P$ con $\mathbb{Q}$ -al azar, entonces con probabilidad $1$ es irreducible y $\mathbb{Q}[t]/(P)$ es rígido. Según la teoría de Galois, esto ocurre siempre que $P$ es irreducible con el grupo de Galois $S_d$ y por la irreductibilidad de Hilbert el complemento de este conjunto es pequeño: por ejemplo, es "delgado" en el sentido de Serre.

Apéndice : Recordemos también el teorema de incrustación de Cassels (J.W.S. Cassels, Un teorema de incrustación para campos , Bull. Austral. Math. Soc. 14 (1976), 193-198): todo campo de característica finita $0$ puede ser incrustado en $\mathbb{Q}_p$ para infinitos primos $p$ . Estaría bien conocer algún análogo de característica positiva que nos permitiera deducir que un campo finitamente generado de característica positiva puede estar embebido en un campo rígido (hasta donde yo sé es concebible que todo campo finitamente generado de característica positiva pueda estar embebido en algún campo de serie de Laurent $\mathbb{F}_q((t))$ pero aunque esto sea cierto no tiene la misma consecuencia, ya que los campos de series de Laurent tienen ciertamente automorfismos no triviales).

Answer 2

No se trata de una familia, sino de un ejemplo interesante... Dejemos que $\mathcal{U}$ sea un ultrafiltro no principal sobre el conjunto $\mathbb{P}$ de los primos y considerar el correspondiente ultraproducto $K = \prod_{\mathcal{U}}\mathbb{F}_{p}$

de los campos de orden primo $p$ . Si $CH$ se mantiene, entonces $K$ siempre tiene $2^{2^{\aleph_{0}}}$ automorfismos ... pero ninguno de los no triviales se ve fácilmente a simple vista. Hay una buena razón para esto. Shelah ha demostrado recientemente que es consistente que exista un ultrafiltro no principal $\mathcal{U}$ tal que $K = \prod_{\mathcal{U}}\mathbb{F}_{p}$ no tiene automorfismos no triviales.

Answer 3

Hay ejemplos en los que interviene el $p$ -adics: por ejemplo $\mathbb{Q}_p$ tiene un grupo de automorfismo trivial. En efecto, como $\mathbb{Q}(i)$ se incrusta en $\mathbb{Q}_p$ cuando $p\equiv1$ (mod 4) entonces $\mathbb{Q}(i)$ se incrusta en un campo con grupo de automorfismo trivial. De hecho este es el caso de todos los campos numéricos (extensiones finitas de $\mathbb{Q}$ ).

Ahora, un ejemplo de un campo algebraicamente cerrado, $K$ una extensión $L$ de $K$ y un automorfismo $\tau$ de $K$ que no se extiende a uno de $L$ . Sea $K$ sea el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ , considerado como un subcampo de $\mathbb{C}$ y que $\tau$ sea una conjugación compleja. Sea $L=K(x,\sqrt{x^3+ax+b})$ sea el campo de funciones de una curva elíptica $E$ en $K$ . Cada automorfismo de $L$ toma $K$ a sí mismo. Supongamos que el $j$ -invariante de $E$ es $i$ (considerado como un elemento de $K$ ). Entonces cualquier automorfismo de $L$ tomando $K$ a sí mismo debe fijar $i$ y, por tanto, no puede limitarse a $\tau$ en $K$ .

Answer 4

En el siguiente artículo, Shelah, entre otras muchas cosas, da construcciones de campos reales cerrados sin automorfismos no triviales que no son subcampos de los reales.

S. Shelah, Modelos con propiedades de segundo orden. IV. A general method and eliminating diamonds -- Annals Pure and Applied Logic 25 (1983) 183-212