¿Alguien conoce el significado físico del siguiente acoplamiento gauge invariante a los espinores? $$\bar \psi F_{\mu \nu} [\gamma^\mu, \gamma^\nu] \psi$$ Este acoplamiento no es mínimo, ya que $$\bar \psi(\partial_\mu + ig A_\mu) \psi$$
Respuesta
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John Fricker
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En primer lugar, hay que tener en cuenta que su término está implícito en una expresión para el proceso on-shell $e \gamma\to e$ a nivel de árbol (con momentos $p, q \equiv p - k,k$ correspondientemente), donde $\gamma$ corresponde formalmente al campo externo $A_{\mu}$ : $$ \tag 1 M_{e\gamma\to e} \sim \bar{u}(p)\gamma_{\mu}u(k)A^{\mu}(q) \equiv \bar{u}(p)\left(\frac{(p+k)_{\mu}}{2m_{e}} - \frac{i\sigma_{\mu\nu}}{2m}(p-k)^{\nu}\right)u(k)A^{\mu}(q) $$ Aquí $u$ se llama vector de polarización del espinor, y $\sigma_{\mu\nu} \equiv \frac{i}{2}[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}]$ . Vemos, que Su término es el segundo sumando de $(1)$ .
En segundo lugar, hay que tener en cuenta que las correcciones del bucle para procesar $e\gamma \to e$ generar factores de forma $F_{1}((p-k)^2)$ y $F_{2}((p-k)^{2})$ cerca del primer y segundo sumando en $(1)$ . La segunda viene explícitamente, cuando introducimos la interacción efectiva $~\sim\bar{\psi}[\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}]\psi$ en el lagrangiano, que es precisamente tu término. Por lo tanto, su término no aporta nuevos efectos fundamentales, sino correcciones a los efectos conocidos a nivel de árbol.
Así pues, asumamos el sentido físico de Su acoplamiento tratando el segundo sumando en $(1)$ . A continuación utilizaré la representación de las matrices gamma, para lo cual $$ \gamma_{\mu} \equiv \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu} \\ \tilde{\sigma}_{\mu} & 0\end{pmatrix}, \quad \sigma_{\mu} = (1,\sigma), \quad \tilde{\sigma}_{\mu} = (1,-\sigma) $$ En primer lugar, es muy atractivo estudiar la aproximación no relativista, donde $s$ -Polarización de la enésima $u_{s}$ (con $\epsilon_{s}$ siendo los vectores propios de spin up down) es $$ \tag 2 u_{s}(p)\approx \begin{pmatrix}\sqrt{\sigma \cdot p}\epsilon_{s} \\ \sqrt{\tilde{\sigma} \cdot p}\epsilon_{s}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}\sqrt{m_{e}}\left(1-\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \\ \sqrt{m_{e}}\left(1+\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \end{pmatrix}, $$ $$ \tag 3 u_{s}(k)\approx \begin{pmatrix}\sqrt{\sigma \cdot k}\epsilon_{s} \\ \sqrt{\tilde{\sigma} \cdot\mathbf p}\epsilon_{s}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}\sqrt{m_{e}}\left(1+\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \\ \sqrt{m_{e}}\left(1-\frac{\mathbf q\cdot \mathbf \sigma}{4m_{e}}\right)\epsilon_{s} \end{pmatrix} $$ En segundo lugar, es conveniente dividir $\sigma_{\mu\nu}(p-k)^{\nu}A^{\mu}$ término en dos partes: $$ \tag 4 i\sigma_{\mu\nu}q^{\nu}A^{\mu}(q) = \alpha_{i}E_{i}+\Sigma_{i}B_{i}, $$ donde $\alpha_{i}=\gamma_{0}\gamma_{i}$ se llama velocidad, mientras que $\Sigma_{i} \equiv \frac{1}{2}[\gamma_{i},\gamma_{j}]$ es el operador de espín.
No es difícil de obtener utilizando $(2)-(4)$ que $$ \bar{u}(p)i\sigma_{\mu\nu}F^{\mu\nu}(q)u(k)\simeq \text{const}_{1}(\bar{S}\cdot \mathbf B) + \text{const}_{2}([\bar{S}\times \mathbf q] \cdot \mathbf E (\mathbf q)), $$ donde $$ \bar{S} \equiv \epsilon^{\dagger}\frac{\sigma}{2} \epsilon $$ El primer sumando corresponde a la interacción del momento magnético de espín con el campo magnético, mientras que el segundo sumando se denomina interacción espín-órbita.
En conclusión, su sumando genera correcciones radiativas al acoplamiento espín-órbita y al acoplamiento del momento magnético.
