La motivación de esta pregunta proviene de la novela Contacte con de Carl Sagan. En realidad, no he leído el libro. Sin embargo, he oído que uno de los personajes (posiblemente uno de esos extraterrestres del final) dice que si los humanos computan suficientes dígitos de $\pi$ Descubrirán que después de algún punto no hay más que ceros durante un tiempo realmente largo. Después de esta larga cadena de ceros, los dígitos ya no son aleatorios, y hay algún mensaje secreto incrustado en ellos. Se supone que esto es una justificación de por qué los humanos tienen 10 dedos y una potencia de cálculo cada vez mayor.
En fin, perdón por el rollo, pero todo esto me ha parecido bastante dudoso. Así que me preguntaba si se sabe que $\pi$ no contiene 1000 ceros consecutivos en su expansión de base 10? ¿O tal vez sí? Por supuesto, esta pregunta tiene sentido para cualquier base y dígito. Limitémonos a la base 10. Si $\pi$ contiene 1.000 unidades consecutivas $k$ entonces podemos preguntarnos si el número de $k$ está limitada por una constante $b_k$ .
Según la página de wikipedia ni siquiera se sabe qué dígitos aparecen con una frecuencia infinita en $\pi$ aunque se conjetura que $\pi$ es un número normal . Por lo tanto, es teóricamente posible que sólo dos dígitos se produzcan con una frecuencia infinita, en cuyo caso $b_k$ existen ciertamente para al menos 8 valores de $k$ .
Actualización. Como señala Wadim Zudilin, se conjetura que la respuesta es afirmativa. De hecho, se deduce de la definición de un número normal (ayuda conocer la definición correcta de las cosas). Supongo que aún no se ha observado una cadena de 1000 ceros en los más de 1 billón de dígitos de $\pi$ así computado, por lo que añado la etiqueta de problema abierto a la pregunta. Además, Douglas Zare ha señalado que en la novela, el verdadero culpable en cuestión es una cadena de 0s y 1s dispuestos en un círculo en la expansión de base 11 de $\pi$ . Ver aquí para más detalles.
