Forma cerrada de $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{(\cos x-\sin x)^{y-2}}{(\cos x+\sin x)^{y+2}}\, dy\, dx$

Question

Puede evaluar analíticamente la siguiente integral doble

\begin{equation} I=\int_{0}^{\Large\frac{\pi}{4}}\int_{\Large\frac{\pi}{2}}^{\large\pi}\frac{(\cos x-\sin x)^{y-2}}{(\cos x+\sin x)^{y+2}}\, dy\, dx \end{equation}

Este integral viene de Quora. Este problema es grave o sólo una broma pero mira desafiante en su propio así que decido preguntar en matemáticas S.E. ¿Alguien aquí quiere dar un tiro?

Answer 1

Tenemos: $$\int_{0}^{\pi/4}\frac{(\cos x-\sin x)^{y-2}}{(\cos x+\sin x)^{y+2}}\,dx = \frac{y}{2(y^2-1)}$ $ por lo tanto:

$$ I = \int_{\pi/2}^{\pi}\frac{y\,dy}{2(y^2-1)}=\frac{1}{4}\left(\log 4+\log(\pi^2-1)-\log(\pi^2-4)\right).$$

Answer 2

Para probar el resultado dado por Jack D'Aurizio, comience con la sustitución $x\mapsto \pi/4-x$, es decir % $ $$\int_0^{\pi/4} \frac{(\cos x-\sin x)^{y-2}}{(\cos x+\sin x)^{y+2}}\,dx=\frac{1}{4}\int_0^{\pi/4} \frac{(\sin x)^{y-2}}{(\cos x)^{y+2}}\,dx=\frac{1}{4}\int_0^{\pi/4}(\tan x)^{y-2}\sec^{4}x\,dx $con la sustitución $\tan x \mapsto x$, la integral resultante es fácil de evaluar.