Demuestre que si $\int_{Q}f$ existe, entonces $\int_{y\in B}f(x,y)$ existe para $x\in A-D$ , donde $D$ es un conjunto de medida cero en $\mathbb{R}^k$

Question

Sé que este problema ya se ha publicado aquí $Q=A\times B$ . si $\int_Q f$ existe, entonces $\int_{y\in B}f(x,y)$ existe para $x\in A-D$ , donde $D$ es un conjunto de medida cero en $\mathbb{R^k}$ . y aquí si $\int_Q f$ existe entonces $\int_{y \in B} f(x, y)$ existe para cada $x \in A D$ , donde $D$ es de medida cero. pero las respuestas no me parecen claras y un post no tiene solución. En el segundo post que menciono, dan una primera respuesta que no entiendo porque utilizan mucho la teoría de la medida y la verdad es que soy principiante en esto y solo tengo disponible el tabú básico de la medida, la segunda respuesta parece muy comprensible pero inacabada, ¿qué más podría hacer con respecto a esa segunda respuesta? ¿Alguien podría ayudarme, por favor?

¿Podría ayudarme a entender esta prueba que he encontrado? Muchas gracias. No entiendo por qué $f(x)\geq 0$ .

Answer 1

En la solución es mejor nombrar $g(x)=\overline{I}(x)-\underline{I}(x)$ en lugar de $f(x)=\overline{I}(x)-\underline{I}(x),$ ya que se confunde con el $f$ de la declaración (no es la misma función). Obsérvese también que en la solución está mal (dice $f(x)=\underline{I}(x)-\overline{I}(x)$ y debe ser $f(x)=\overline{I}(x)-\underline{I}(x)$ ). Tenemos $g(x)\geq 0$ para todos $x$ por definición de integrales superiores e inferiores (la integral superior es siempre mayor que la inferior).

P.D.: Es el Análisis de Munkres en Múltiples 13.2, ¿verdad? También puedes usar 13.1(b) para este ejercicio, es más sencillo.