Encuentre $\delta > 0$ tal que $|x-2| < \delta$ implica $|x^2+2x-18| < \frac{1}{4}$

Question

Encuentre $\delta > 0$ tal que $|x-2| < \delta$ implica $|x^2+2x-18| < \frac{1}{4}$ .

He tenido problemas con esta pregunta de mi clase de Análisis porque $f(x)$ no es un factor. Aquí está el primer trabajo de raspado que hice tratando de encontrar un $\delta$ :

Dejemos que $\delta_1 =1$ . Entonces $|x-2| < \delta \implies -1 < x-2<1 \implies 3 < x+2 < 5$ . Por lo tanto, $|x+2|<5$ .

Queremos $|x^2+2x-18|< \frac{1}{4}$ . Esto es lo mismo que: $$\frac{-1}{4} < x^2+2x-18 < \frac{1}{4}$$ $$-1 < 4x^2+8x-72 < 1$$ $$71 < 4x^2+8x < 73$$ $$71 < 4x(x+2) < 73$$ $$|4x(x+2)|=|4x||x+2| \leq |4x| \cdot5 < 73$$ $$|4x| < \frac{73}{5}$$

Me quedé atrapado aquí. En los otros problemas de práctica que hicimos siempre terminé con algo como $|x-a|<...<...$ así que no estoy seguro de qué fue lo que falló. No veo cómo factorizar $x^2+2x-18$ en algo que utilice $(x-2)$ .

Answer 1

Dejemos que $f(x)=|x^2+2x-18|$ . Para todos los $\delta>0$ , $|2-2|<\delta$ pero $f(2)=10\geq\frac{1}{4}$ . Así que no importa el valor que elijas para $\delta$ hay un $x$ ( $2$ ) que no satisface $|x^2+2x-18|<\frac{1}{4}$ .