Encuentro Teoría de la catástrofe para ser una fuente de ejemplos convincentes del tipo que parece estar buscando. Las aplicaciones no son juguetes tecnológicos (al menos, que yo sepa), sino que permiten comprender cómo y por qué algunos sistemas pueden cambiar repentinamente.
Construir una máquina de catástrofes: la de Zeeman es maravillosa, El documento de Poston tiene otras ideas, y se mencionan otras ideas aquí :
He aquí una aplicación interesante de un cúbico: ponga una barra de hierro blando en un campo magnético suave. Se induce un ligero magnetismo en el hierro. Al aumentar lentamente la fuerza del campo magnético, el magnetismo del hierro aumentará lentamente, pero luego dará un salto repentino, tras lo cual, al seguir aumentando la fuerza del campo magnético, vuelve a aumentar lentamente. Si ahora disminuye la intensidad del campo magnético, la magnetización disminuirá lentamente, por supuesto, MÁS ALLÁ de la intensidad a la que había saltado repentinamente. Entonces bajará de repente, pero en un punto en el que el campo magnético es más débil que cuando subió. Los electricistas lo llaman "bucle de histéresis".
Aplicación similar. Si das cuerda a la hélice de un avión de juguete de goma, la goma se enrolla sobre sí misma. De repente, toda la goma elástica se retuerce en forma de espiral. Si ahora inviertes el enrollamiento, la fuerza sobre la banda de goma bajará MÁS ALLÁ del punto en el que se había doblado de repente antes de "desenroscarse". Esto se conoce como la "catástrofe de la banda elástica" (¿alguien recuerda la "teoría de la catástrofe"?)
¿Por qué? Porque las soluciones de equilibrio para el campo magnético en función de la magnetización inducida y para la fuerza sobre la hélice en función de la "torsión" de la banda de goma es una cúbica. ¡Fíjate en cómo van esas funciones! La magnetización inducida no es una FUNCIÓN del campo magnético (ni la "torsión" es una función de la fuerza) porque la cúbica estaría "tumbada" y tendríamos 3 valores de magnetización inducida para unos valores de campo magnético. Piensa en ello como $x= y^3- 6y^2+ 9y$ . La sección "switchback" se encuentra entre los dos extremos de x, 4 y 18. En esa región, la sección "switchback" que conecta las otras dos es un equilibrio inestable mientras que las otras dos son estables. Al empezar a aumentar el campo magnético, se mantiene en la rama inferior hasta que se pasa el máximo local x (en el ejemplo anterior, $x= 18$ ) y ahora el valor salta a la otra rama. Reduciendo el campo magnético, te mantienes en la rama estable "superior" hasta que llegas al mínimo local x (en el ejemplo anterior, $x= 4$ ).
Estos y otros ejemplos similares son mágicos para el público: realmente se ve cómo ocurre la catástrofe, y es completamente misterioso el porqué. Hasta que se explica matemáticamente (y la explicación es lo suficientemente sencilla como para que el público en general la entienda), y entonces se hace evidente.
Una magia diferente pero relacionada es la doble péndulo . Cuando era un joven adolescente fui a una charla popular sobre el caos en la que se explicaba esto, y me pareció absolutamente mágico. Una vez más, las matemáticas que lo sustentan son accesibles, y no es difícil convencer a la gente, al menos implícitamente, de que es algo que la humanidad en su conjunto se enriquece al comprenderlo.
