Probar la unicidad de las soluciones de $\sin^2A + \sin^2B = \sin (A+B)$ sin utilizar el cálculo multivariable

Question

En el curso de la resolución de un problema trigonométrico (ver $a^2+b^2=2Rc$ donde $R$ es el radio de la circunferencia del triángulo. $ABC$ es un triángulo rectángulo ), en una aproximación había que resolver la siguiente ecuación:

$$\boxed{\sin^2A + \sin^2B = \sin (A+B)}$$

con sujeción a $A\in(0,\frac{\pi}{2}),B\in(0,\frac{\pi}{2}),\pi-(A+B) > \max(A,B)$ es decir $A$ y $B$ son los dos ángulos de un triángulo no opuestos al lado más largo.

Evidentemente, cualquier $A,B\:|\:A+B=\frac{\pi}{2}$ es una familia de soluciones. Dado que el cálculo multivariable es presumiblemente más allá del nivel del problema original:

Cómo demostrar que no hay otras soluciones $\underline{\text{without}}$ utilizando el cálculo multivariable?

[No creo que una identidad trigonométrica sea suficiente ya que hay son otras soluciones si las restricciones de $A,B$ se relajan].

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(Para completar, utilizando el cálculo multivariable)

Parte 1

Prueba de que $\sin^2A + \sin^2B < \sin (A+B)$ sobre la región $R_1=\{0<A,B\land A+B<\frac{\pi}{2}\}$ .

Considere $$f(x,y)=\sin^2x + \sin^2y - \sin (x+y)$$ Entonces $$\begin{align} f_x &= \sin 2x - \cos(x+y) \\ f_y &= \sin 2y - \cos(x+y) \\ f_{xx} &= 2\cos 2x + \sin(x+y) \\ f_{yy} &= 2\cos 2y + \sin(x+y) \\ f_{xy} &= \sin(x+y) &= f_{yx} \\ \end{align}$$

Para los extremos locales necesitamos $f_x=f_y=0$ . Pero

$$f_x=f_y=0 \implies \sin2x=\sin2y \implies y=x \lor y=\frac{\pi}{2}-x$$

Excluye $y=\frac{\pi}{2}-x$ ya que viola la restricción de que $x+y<\frac{\pi}{2}$ .

Si $y=x$ , $f_x=0 \implies \sin2x=\sin2y \implies x=y=\frac{\pi}{8}$ .

El determinante del hessiano es $$D(x,y) = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix} = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}f_{yx} = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$$

En $P(\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{8})$ tenemos

$$\begin{align} f_{xx}&=2\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3}{\sqrt2} \\ f_{yy}&=2\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3}{\sqrt2} \\ f_{xy}&=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2} \\ D(x,y)&=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4 \end{align}$$

Dado que ambos $f_{xx}$ y $D$ son positivos en $P$ se trata de un mínimo local (con $f(x,y)|_P=1-\sqrt2$ ).

En los límites:

• $f(0,y)=\sin^2y-\sin y<0$ en $x=0,y\in(0,\frac{\pi}{2})$
• $f(x,0)=\sin^2x-\sin x<0$ en $x\in(0,\frac{\pi}{2}),y=0$
• $f(0,0)=0$
• $f(x,y)=0$ para $x,y\geq0,x+y=\frac{\pi}{2}$

Desde $(0,0)$ no forma parte del dominio, y no hay otros extremos locales, tenemos $f(x,y)<0$ en $R_1$ .

Parte 2

Bastará con demostrar que $\sin^2A + \sin^2B > \sin (A+B)$ sobre la región $R_2=\{0<A,B<\frac{\pi}{2} \land A+B>\frac{\pi}{2} \}$ .

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Answer 1

Aquí hay algunas ilustraciones, con $\triangle ABC$ que tiene un circundiámetro $1$ (y por lo tanto los lados $\sin A$ , $\sin B$ , $\sin C$ ):

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Aguda $C$ : $\quad \sin C < \sin^2 A + \sin^2 B$

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Obtuso $C$ : $\quad \sin C > \sin^2 A + \sin^2 B$

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A la derecha $C$ : $\quad \sin C = \sin^2 A + \sin^2 B$

Answer 2

Bueno, arregla $B$ y demostrar que hay una solución única para $A$ . En otras palabras, queremos demostrar que para $0 < B < \pi/2$ la función

$$f_B(A) = \sin^2(A) + \sin^2(B) - \sin(A+B)$$

tiene un único cero en el intervalo $(0, \pi/2)$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$f_B(0) = \sin^2(B) - \sin(B) = \sin(B)[\sin(B) - 1] < 0$$ desde $0 < \sin(B) < 1$ . Ahora considere

$$\begin{align*} f'_B(A) &= 2\sin(A) \cos(A) - \cos(A+B) \\ &= \sin(2A) - \cos(A+B) \end{align*}$$ Tenemos $$f'(0) = - \cos(B) < 0$$ así que $f_B$ empieza a ser negativo y decreciente. Ahora bien, ¿dónde puede $f'_B$ ¿Desaparecer? Bueno, eso sucede cuando $$\sin(2A) = \cos(A+B).$$ Ahora $\sin(2A)$ aumenta de cero a uno en $(0, \frac{\pi}{4})$ mientras que $\cos(A+B)$ disminuye de $\cos(B) > 0$ a $\cos(B + \frac{\pi}{4})$ que está entre 0 y 1, en el mismo intervalo. En consecuencia, existe alguna solución a esta ecuación con $A \in (0, \pi/4)$ . Además, hay sólo una solución en $(0, \pi/4)$ ya que a la derecha de esta solución tenemos $\sin(2A)$ creciente y $\cos(A+B)$ disminuyendo.

¿Qué hay de las soluciones para $$\sin(2A) = \cos(A+B).$$ cuando $\frac{\pi}{4} < A < \frac{\pi}{2}$ ? Bueno, $$\cos(A+B) < \cos(A) < \sin(2A)$$ en este intervalo.

Así que hemos demostrado que en el intervalo $(0, \pi/2)$ la función $f'_B(A)$ tiene un único cero. Junto con el hecho de que $f_B(0) < 0$ y $f'_B(0) < 0$ esto significa que en $(0, \pi/2)$ la función $f_B$ disminuye desde un valor negativo en 0 hasta un mínimo negativo, y luego aumenta durante el resto del intervalo. En consecuencia, $f_B$ puede tener como máximo un cero en este intervalo.

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Sospecho que si usted también se opone a de una sola variable cálculo podrías eliminarlo del argumento y hacer las cosas completamente con trigonometría, aunque el argumento sería necesariamente más largo.

Answer 3

Supongamos que $a,b\in(0,\frac\pi2)$ y $$\begin{align*} \sin^2 a + \sin^2 b &= \sin(a+b) \\ &= \sin a\cos b + \cos a \sin b \tag{1} \end{align*}$$ Elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos $$\begin{align*} \sin^4 a + 2\sin^2 a\sin^2 b + \sin^4 b &= \sin^2 a \cos^2 b + 2\sin a\sin b\cos a\cos b + \cos^2 a\sin^2 b \\ &= \sin^2 a (1-\sin^2 b) + 2\sin a\sin b\cos a\cos b + (1-\sin^2 a)\sin^2 b \\ &= \sin^2 a - 2\sin^2 a\sin^2 b + \sin^2 b + 2\sin a\sin b\cos a\cos b \end{align*}$$ Reacomodando, $$\begin{align*} 4\sin^2 a\sin^2 b &= \sin^2 a - \sin^4 a + \sin^2 b - \sin^4 b + 2\sin a\sin b\cos a\cos b \\ &= \sin^2 a(1-\sin^2 a) + \sin^2 b(1-\sin^2 b) + 2\sin a\sin b\cos a\cos b \\ &= \sin^2 a\cos^2 a + \sin^2 b\cos^2 b + 2\sin a\sin b\cos a\cos b \\ &= (\sin a\cos a + \sin b\cos b)^2 \end{align*}$$ Por nuestras suposiciones, todo es positivo, así que podemos sacar raíces cuadradas, obteniendo $$2\sin a\sin b = \sin a\cos a + \sin b\cos b$$ Sumando esto a (1) se obtiene $$\sin^2 a + 2\sin a\sin b + \sin^2 b = \sin a\cos a + \sin a\cos b + \sin b\cos b + \sin b\cos a$$ es decir, $$(\sin a + \sin b)^2 = (\sin a + \sin b)(\cos a + \cos b)$$ Por lo tanto (de nuevo, siendo todo positivo) $$\sin a + \sin b = \cos a + \cos b$$ Reacomodando, $$\sin a - \cos a = \cos b - \sin b$$ y la cuadratura, $$\sin^2 a - 2\sin a\cos a + \cos^2 a = \sin^2 b - 2\sin b\cos b + \cos^2 b$$ Simplificando, $$\sin 2a = \sin 2b$$ Desde $a,b\in(0,\frac\pi2)$ concluimos que, o bien $a=b$ o $a+b=\frac\pi2$ . En el caso $a=b$ (1) se reduce a $\sin 2a = 2\sin^2 a = 1 - \cos 2a$ lo que equivale a $\sin 4a = 0$ dando (en nuestro intervalo) sólo la solución $a=\frac\pi4$ que también forma parte del segundo caso. Así que $a+b=\frac\pi2$ .