Función gamma y aproximación de Stirling

Question

Estoy interesado en límites superiores e inferiores fuertes en $\frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)},$ donde $n$ es un número grande no integral y $\alpha$ es una pequeña constante como $3.5.$ Sé que la respuesta es aproximadamente $n^\alpha$ pero quiero garantías multiplicativas sobre la calidad de esta aproximación, tanto límites superiores como inferiores. Supongo que hay una versión de la fórmula de Stirling que puede darme lo que quiero.

Gracias.

Answer 1

Para cualquier complejo $z$ tenemos que $$\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2\pi}z}\bigg(\frac z e\bigg)^z\left(1 + \mathcal O\left(\frac1z\right)\right).$$ Como usted dijo $n$ es grande, podemos tomar $$\Gamma(n) \approx \sqrt{\frac{2\pi}n}\bigg(\frac n e\bigg)^n.$$ Aplicando esto a su función, obtenemos, después de bastantes manipulaciones algebraicas básicas $$\frac{\Gamma(n + \alpha)}{\Gamma(n)} \approx \bigg(1 + \frac\alpha n\bigg)^{n - \frac12}\left(\frac{n + \alpha}e\right)^\alpha\tag1$$

Tomando como límites inferior y superior $$\begin{align}\mathcal L(n, \alpha) &= \bigg(1 + \frac\alpha n\bigg)^{n - 1}\left(\frac{n + \alpha}e\right)^\alpha\\ \mathcal U(n, \alpha) &= \bigg(1 + \frac\alpha n\bigg)^n\left(\frac{n + \alpha}e\right)^\alpha \end{align}$$ se obtienen unos límites realmente fuertes. Aproximación $(1)$ es mucho mejor que $n^\alpha$ .