Uniformemente continuo $f$ en $L^p([0,\infty))$

Question

Supongamos que $1\leq p < \infty$ , $f \in L^p([0,\infty))$ y $f$ es uniformemente continua. Demostrar que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ .

Answer 1

Pistas: Supongamos para una contradicción que $f(x) \not \to 0$ . Junto con la definición de continuidad uniforme, concluir que existen constantes $\varepsilon > 0$ y $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ tal que para cualquier $M > 0$ existe $x > M$ para el que tiene $$\int_{(x,x + \delta )} {|f(y)|^p \,dy} \ge \bigg(\frac{\varepsilon }{2}\bigg)^p \delta .$$ Sin embargo, esto implicaría $\int_{[0,\infty )} {|f(x)|^p \,dx} = \infty$ una contradicción.