Como usted escribió $$I=\int_{-\infty }^{\log( \pi)} \sqrt{\sin (e^t)} \, dt=\int_{0 }^{\pi}\frac{\sqrt{\sin (x)}}{x}\,dx$$
Uso de la expansión en serie $$\sqrt{\sin (x)}=\sum_{n=0}^\infty \frac {a_n}{b_n} x^{2 n+\frac{1}{2}} $$ El $a_n$ forman la secuencia $A008991$ y el $b_n$ forman la secuencia $A008992$ es $OEIS$ .
Así que $$\int\frac{\sqrt{\sin (x)}}{x}\,dx=2\sum_{n=0}^\infty \frac {a_n}{(4n+1)\,b_n} x^{2 n+\frac{1}{2}}$$
La convergencia es muy lenta
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Ninguno de los CAS que pude utilizar daba la antiderivada o la integral. Sin embargo, utilizando el $\large 1,400$ años de aproximación $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ propuesto por Mahabhaskariya de Bhaskara I, un matemático indio del siglo VII podemos escribir $$\frac{\sqrt{\sin (x)}}{x} \simeq 2 \sqrt{\frac{(\pi -x)}{x (x-a) (x-b)}}\quad \text{with} \quad a=\left(\frac{1}{2}-i\right) \pi\quad \text{and} \quad b=\left(\frac{1}{2}+i\right) \pi$$ que se puede integrar mediante integrales elípticas de primer y tercer tipo.
Sólo unos pocos números para
$$I_k=\int_0^{k\frac{\pi}{12}}\frac{\sqrt{\sin (x)}}{x}\,dx$$
$$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation}& \text{solution} \\ 1 & 1.02920 & 1.02216 \\ 2 & 1.44820 & 1.44060 \\ 3 & 1.76172 & 1.75428 \\ 4 & 2.01665 & 2.00943 \\ 5 & 2.23049 & 2.22336 \\ 6 & 2.41171 & 2.40459 \\ 7 & 2.56500 & 2.55789 \\ 8 & 2.69317 & 2.68612 \\ 9 & 2.79790 & 2.79094 \\ 10 & 2.87997 & 2.87305 \\ 11 & 2.93881 & 2.93182 \\ 12 & 2.96882 & 2.96169 \end{array} \right)$$
