Conjunto de invariantes de Lyapunov para sistemas afines

Question

Dado un sistema lineal $\dot{x}=Ax$ tal que la parte real de cada valor propio de $A$ es menor que $0$ La ecuación de Lyapunov $A^T P + P A = -Q$ avec $Q$ siendo cualquier matriz positiva definida de tamaño adecuado nos da un elipsoide invariante $x^T P x \leq 1$ es decir, para cualquier estado inicial $x_0$ tal que $x_0^T P x_0 \leq 1$ sabemos que los estados $x$ o más bien $x(t)$ (haciendo dependencia a $t$ explícito) alcanzable desde $x_0$ permanecen dentro del elipsoide invariante, es decir $x(t)^T P x(t) \leq 1 ~\forall t \geq t_0$ .

¿Cómo se puede generalizar esto a los sistemas afines $\dot{x}=Ax + b$ donde la parte real de cada valor propio de $A$ es menor que $0$ ? Claramente, la transformación del sistema afín en un sistema lineal mediante la ampliación del vector de estado por $b$ avec $\dot{b}=0$ no ayuda ya que tendremos valor(es) propio(s) $0$ lo que viola nuestra suposición.

Answer 1

Como sugirió Evgeny, basta con trasladar el sistema de coordenadas, es decir, para $x=y-A^{-1} b$ tenemos $\dot{y} = \dot{x} = A x + b = A (y - A^{-1} b) + b = A y - b + b = A y$ y por tanto el elipsoide invariante es $y^T P y = (x+A^{-1}b)^T P (x+A^{-1}b) \leq 1$ . Tenga en cuenta que $A^{-1}$ existe ya que exigimos que la parte real de cada valor propio de $A$ es menor que $0$ y se sostiene que una matriz es invertible si y sólo si no tiene ningún valor propio que sea $0$ .