¿Por qué no puede la diferenciabilidad ser generalizado como muy bien como continuidad?

Question

La pregunta: ¿Podemos definir funciones diferenciables entre (clase de) establece, "sin $\Bbb R$"^* para que

1. Reduce a la definición tradicional cuando se desee?
2. Tiene el mismo uso que en al menos algunos de los más altos de los contextos donde se utiliza el presente diferenciable colectores?

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Motivación/Contexto:

Yo estaba un poco decepcionado cuando aprendí a diferenciar en los colectores. He aquí cómo fue.

Un joven me estaba estudiando métrica espacios como la primera unidad en una topología de curso, cuando un nuevo y brillante generalización de continuidad se me presentó. Yo estaba muy emocionado, porque ahora podía considerar la posibilidad de continuidad en un nuevo sentido, en función de los espacios, finito de conjuntos, incluso el familiar reales con diferentes métricas, etc. Aún así, me sentía como yo no había escapado a los reales (por qué quería yo no puedo decir, pero estoy divagando) desde que era todavía la medición de la distancia (y por lo tanto la continuidad, en mi mente) con un número real: $$d: X\a\enorme\Bbb R$$

Si el lector, por alguna razón, las acciones o al menos se identifica con (honestamente, no puedo explicar esta fijación de la mina) el deseo de tener definiciones no apelar a otros conjuntos y estructuras^*, entonces van a entender mi emoción en descubrir aún una definición más general, el estándar de un arbitrarias de espacios topológicos. Estuve en casa de forma gratuita; la nueva definición era totalmente ajena a la siempre conveniente números reales, y, por supuesto, pude recuperar mi primera (cálculo) definición, siempre me toplogized $\Bbb R^n$ adecuadamente (y parecía muy razonable toplogize $\Bbb R^n$ con el de Pitágoras, teorema de, después de todo).

Pasó el tiempo y seguí estudiando, y a través de otros cursos (algunos simultáneo de topología, algunos posterior) una nueva especie de picazón comenzó a desarrollar, esta vez con diferenciable funciones. Por un lado, he tenido definiciones (tipos de convergencia, compacto conjuntos de superficies orientables, etc.) y teoremas (Piedra-Weiestrass, Arzelá-Ascoli, de punto fijo de Brouwer, etc.) completamente comprensible a través de mi nueva topología. Por otro lado, la definición de un derivado seguía siendo el mismo de siempre, yo no lo podía ver ni la posterior teoremas "desde arriba", como con topológico argumentos.

Pero entonces, una nueva esperanza (feliz 4 de mayo), que venía con un lejano pero de cerca se aproxima tema, la geometría diferencial. La posibilidad de "escapar" a su vez, de la terrestre conceptos parecía muy prometedor, así que me decidí a mirar hacia adelante y abrir un par de libros para ver si por fin podía mirar hacia abajo en mi antiguo derivado de la parte superior en el desarrollo conceptual de las nubes. Mi expectativa era que, así como la topología primero había que definir una generalizada "de la cercanía de la estructura", es decir, sentar las bases sobre la cual el general funciones continuas podría ser definido a través de bloques abiertos, ahora me encuentro con el análogo de "estructura diferenciable" (yo no tenía idea de lo que esto implica, pero yo no, ya sea para la topología así que ¿por qué no imaginar). Y así fue: "oh, así que solo... y luego llevarlo a $\Bbb R^n$... y utiliza la misma definición de diferenciables".

¿Por qué es esto así? ¿Cómo es que somos capaces de abstraer la continuidad en las definiciones dentro de la misma serie, pero para la diferenciabilidad tenemos que "pasar a través" de los reales? Me doy cuenta de que esto realmente tiene que ver con el por qué tenemos que generalizar, en primer lugar, lo que ocurre es que las generalizaciones tienen una utilidad en los nuevos contextos, de ahí el segundo punto de mi pregunta declaración.

Por qué me imagino que esto es plausible, a priori, es porque hay una norma histórica: empezar con el bajo nivel de las definiciones de $\rightarrow$ a descubrir algunas propiedades $\rightarrow$ cuenta que estos son todo lo que usted quería de todos modos, y redefinir como el que posee las propiedades. Sin duda derivados tienen propiedades que pueden ser igual de bien dijo un poco más general de conjuntos! (por ejemplo, la linealidad, pero por supuesto, esto está lejos de ser suficiente). Pero luego, todos estamos de acuerdo en que no ha llegado a una lujuria para llevar a cabo el proceso anterior, en todas partes es posible, así que tal vez no son muy fuertes obstáculos en efecto, que inhiben su ser llevado a cabo en este caso. En este caso debo preguntar lo que estas obstrucciones son, o cómo debo comenzar a identificar.

Gracias por leer esto ahora si tengo la esperanza de que alguien puede dar un poco de perspicacia (o solo una referencia sería genial!).

^{* Si estoy siendo honesto, antes de preguntar esto realmente debería responder a la pregunta de lo que en la tierra me refiero, precisamente, por "una estructura que no apela a otro". Primero de todo, voy a venir a través de una nueva definición que aparentemente no usar $\Bbb R$, pero es "isomorfo" haberlo hecho (ejemplo fácil: llamar a los $\Bbb R$ un nombre diferente). Además, siempre estoy inevitablemente atractivo (incluso ingenuo) la teoría de conjuntos, los números naturales, etc. sin ningún tipo de alboroto. Así que, si mis reparos a la hora de tener un significado lógico, debe haber una diferencia cuantificable en apelar a $\Bbb R$ vs apelando a la teoría de conjuntos y otras construcciones preexistentes. Si el demandado puede comentar sobre esto, super-felicitaciones (y si se puede, pero la respuesta sería largo y sobre todo no relacionados, decir esto y voy a publicar otra pregunta).}

Answer 1

No "es" una manera, ya que en la geometría algebraica, no trabajamos sobre los números reales en general, sin embargo, utilizamos técnicas inspirado a partir de la diferenciación de todo el tiempo. No es el camino preferido por la mayoría de la geometría diferencial de los libros de texto que se adhieren a los gráficos y diferenciable de las estructuras, pero todavía funciona.

Un espacio anillado $(X,\mathcal O_X)$ es un espacio topológico, junto con una gavilla por primicia de los anillos de $\mathcal O_X$. Un localmente anillado espacio es un espacio anillado tal que los tallos de $\mathcal O_{X,p}$ son locales anillos por cada $p \in X$. Si $(X,\mathcal O_X)$ es un local rodeado de espacio, podemos definir el espacio cotangente en $p$ través $\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2$, donde $\mathfrak m_{X,p}$ es el único ideal maximal de $\mathcal O_{X,p}$. Este es un espacio vectorial sobre el campo $k(p) \desbordado{def}= \mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}$, por lo que podemos definir el espacio de la tangente como el de doble $k(p)$-espacio vectorial $\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2$, o en otras palabras, el conjunto de todos los lineales de los mapas de $\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2 \a k(p)$.

La idea es que si usted tiene un lineal de mapa $\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2 \a k(p)$, y le han dado una "función" $f \in \mathfrak m_{X,p}$, el valor de la lineal mapa en $f$ debe darle la "dirección"al derivado de $f$.

Por supuesto, este nivel de abstracción se elimina cualquier referencia a coordinar los parches y tal, así que es difícil ver lo que está pasando. Para eliminar todas las algebro-geométrico tonterías, y obtener un ejemplo en particular, tomar un colector $M$ (que es un espacio topológico) y considerar la gavilla de $\mathcal O_M$ de $C^{\infty}$-funciones en $M$, es decir, si $U \subseteq M$ es un conjunto abierto, $\mathcal O_M(U)$ es el conjunto de las funciones lisas $U \a \mathbb R$. Entonces $\mathcal O_{M,p}$ se compone de todos los gérmenes de funciones en $p$ y $\mathfrak m_{M,p}$ es el máximo ideal de los gérmenes cuyo valor es de $p$ es cero. El ideal $\mathfrak m_{M,p}^2$ es el ideal de todos finito de sumas de productos de dos funciones en $\mathfrak m_{M,p}$, y en particular, de las funciones siempre se desvanecen con la multiplicidad de $\ge 2$ (esto es, el producto de la regla de diferenciación). Generalmente se muestra que el doble de $\mathfrak m_{M,p}/\mathfrak m_{M,p}^2$ corresponde al espacio de todas las derivaciones en $p$ ; tenga en cuenta que en este caso, tenemos $k(p) \simeq \mathbb R$, así que el problema de los mapas de $\mathfrak m_{M,p}/\mathfrak m_{M,p}^2 \a k(p)$ realmente tomar valores en los números reales.

Por supuesto, la gavilla de $\mathcal O_M$ necesita ser definido, y esto se hace generalmente en un cierto punto mediante coordenadas parches ; no alejarse de tratar con los gráficos al hacer la geometría diferencial. Seguro que, en algún momento de dejar de usar si usted ocuparse de coordinar enfoques libres, pero que se encuentran en algún lugar en el tratamiento de la teoría. Mi punto es que las ideas de diferenciación hacer generalizar, y esto es sólo un vistazo rápido de cómo lo hace ; geometría algebraica toma de "diferenciación" a un nivel completamente nuevo.

Como continuidad ha sido debilitado y jugado con él de muchas maneras diferentes (débil/débil estrellas de convergencia en el análisis funcional, semi-superior-inferior-continuidad en la optimización, etc.) y la diferenciación (Fréchet, Gâteaux, derivadas direccionales, semi-derivadas direccionales, Comedor y derivados), siempre se debe recordar una cosa : sí generalizaciones son útiles, pero nunca se debe olvidar por qué quería generalizar en el primer lugar. Puede ser porque usted quiere prestar atención a una cierta clase de problemas que no puede resolver y que desee tener una visión más clara del punto de vista o para fortalecer las herramientas, pero generalizar para el bien de generalizar, por lo general conduce a confundirse y perder la intuición, que no es lo que usted desea. Para este día todavía estoy asustada de que el uso de la Dini derivados...

Espero que ayude,

Answer 2

Parece que algunos de la frustración de tener que definir los colectores de adentro hacia afuera, por la que se pegan coordinar los gráficos. Es posible axiomatize una noción de "buen objeto" de tal manera que podamos trabajar con las funciones lisas en los análogos de colectores, la función de los espacios, productos, cocientes, intersecciones, infinitesimalmente pequeños espacios, y cualquier otra cosa que usted (o al menos yo) puede imaginar, y por lo tanto definen los espacios desde el exterior, nunca el uso de coordenadas o gráficos en las definiciones. Esta teoría se llama sintético de la geometría diferencial (SDG.)

SDG da una muy diferente de la definición de función suave que uno utiliza clásicamente, porque uno trabaja en un marco lógico en el que se puede definir no liso funciones. Así que, sintéticamente, una función suave es...cualquier función entre espacios en un modelo de SDG! Esto no quiere decir mucho hasta que usted sepa acerca de lo que se necesita para ser un modelo de SDG. Lo SDG axiomatizes es lo que un objeto $R$ tiene que hacer para ser capaz de actuar como una línea suave para hacer algo de geometría diferencial: por lo que tiene algunos elementos que la plaza a cero en la que cada función es lineal (lo que lleva a la definición de la derivada), una mucho más grande colección de nilpotent elementos en los que cada función está definida por su serie de Taylor, cada función tiene una antiderivada, etc...Entonces los otros objetos lisos, todos tienen sus mapas determinado, al menos a nivel local, por su relación con esta "línea" y su infinitesimalmente pequeño subespacios.

Así que tal vez esto suena un poco demasiado como basando colectores en $\mathbb{R}$. Les puedo asegurar que $R$ puede ser tremendamente más exótico que $\mathbb{R}$, si eso ayuda; y de nuevo los objetos en SDG no son construidos a nivel local de finito de productos de $R$. Una más convincente objeción es probable que usted nunca ha oído hablar de esto, y es porque, como ya puedes ver, es muy diferente de la geometría de saber; y a la elaboración de las fundaciones requiere cantidades grandes de la categoría teoría de que la mayoría de los geómetras no quieren aprender. Sin embargo, la buena noticia es que es posible hacer todo de clásicos de la geometría diferencial dentro de este marco, por lo que se puede, al menos en principio, pensar en términos sintéticos y, a continuación, traducir pruebas en un lenguaje más familiar a la comunidad.

Answer 3

Patrick Da Silva ya se dio una gran respuesta. Esto es sólo una respuesta a complementar. No estoy para responder a tu pregunta exactamente desde que estoy haciendo trampa, en mi definición yo estoy usando la palabra "suave", que ya implica estoy usando la diferenciabilidad, que es lo que te está molestando. Sólo quiero señalar cómo los operadores diferenciales pueden ser definidas sin las definiciones locales. Si se combina esto con Patrick Da Silva usted puede obtener una construcción haciendo caso omiso de mi abuso de la palabra suave.

De hecho, los operadores diferenciales se pueden establecer en un puramente algebraico forma abstracta , sin siquiera requerir de un colector. La gente usa esto en álgebra conmutativa. Aquí están algunas notas de la conferencia con el más general de la construcción, pero se requerirá tal vez a su nivel de madurez del álgebra para ser capaz de comprenderlo.

Aquí tienes una versión simplificada de la tangente paquete de colector $M$, para evitar el uso general vector de paquetes. La construcción se toma un tiempo para digerir, pero es muy interesante. Me disculpo si el siguiente no tiene mucho sentido ya que lo escribo. Definitivamente estoy omitiendo muchos detalles. Estoy resumiendo la presentación que se dio en aquí.

1) Definir $\mathrm{Op}(TM)$ como el espacio de los operadores lineales $T:\Gamma(TM)\a \Gamma(TM)$ (aquí uso $\Gamma$ a decir lisa secciones, tenga en cuenta que una suave sección de $TM$ es, por definición, un suave vector de campo).

2) Para cada suave de la función $f\in C^\infty(TM)$, definir un mapa de $\mathrm{ad}(f)$ con dominio $\mathrm{Op}(TM)$ tal que para cada $T\in\mathrm{Op}(TM)$ de obtener un mapa de $\mathrm{ad}(f)(T)\colon \Gamma(TM)\a\Gamma(TM)$ definida por $$ (\mathrm{ad}(f)T)u = [E,F]u:=T(fu)-f(Tu),\quad \forall u\en \Gamma(TM)$$

3) Ahora inductivamente definir una secuencia de subespacios $$ \mathrm{PDO}^{(0)}(TM) \subconjunto \mathrm{PDO}^{(1)}(TM) \subconjunto ... \subconjunto \mathrm{PDO}^{(k)}(TM) \subconjunto ... $$ Siguiendo la receta: $$ \mathrm{PDO}^{(0)}(TM) = \mathrm{hom}(TM,TM)$$ (piensa en esto como una colección de mapas de $TM_x\a TM_x$ para todo $x\in M$) y $$ \mathrm{PDO}^{(k+1)}(TM) = \{ T\en\mathrm{Op}(TM);[T,f]\en \mathrm{PDO}^{(k)}(TM), \forall f\C^\infty(M) \}.$$ Los elementos de $\mathrm{PDO}^{(k)}(TM)$ son llamados parcial de los operadores diferenciales de orden $k$. Su trabajo aquí (no es un super fácil) es convencerse de que esta idea está de acuerdo con su idea de lo que es un operador diferencial debe ser.

Answer 4

Tomar un enfoque diferente para responder a esta pregunta, usted podría preguntarse por qué los números reales parecen ser tan ineludible. Por supuesto, varias respuestas se han dado que hacer en el hecho de escapar de los reales, pero lo hacen centrándose en las propiedades algebraicas de los derivados, lo que podría ser insuficiente para que usted (o tal vez no!)

Una respuesta a la pregunta "¿por qué son los reales ineludible" es que los números reales son los únicos completa ordenado de campo (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers). Así que si quieres definir algo que captura todos los topológicas y las propiedades algebraicas de la derivada va a ser pegado con los números reales.

Answer 5

Si usted considera que la diferenciación de aproximar el comportamiento localmente mediante una función lineal, y es, creo, ser obvio por qué es difícil generalizar.

Usted necesita saber lo que significa aproximado, usted necesita saber lo que significa ser lineal (o algunos adecuado conjunto similar de "simple" de las funciones, etc.) Estos no son naturales para todos los espacios. Cuando un espacio es curvo, lo que es una función lineal?

En particular, la diferenciación de las necesidades de una noción de 'dirección.'

Incluso en las funciones $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$, la derivada es una $n\times m$ matriz, y usted tiene:

$$f(\mathbf v+\mathbf h)\aprox f(v)+T\mathbf h$$

donde $T$ es una matriz. Usted puede pensar de este derivado como un mapa de la misma dominio a la misma gama, pero los matemáticos se dieron cuenta cuando se trata de espacios curvos, que es realmente la mejor manera de ver como un mapa del "espacio de la tangente" en $\mathbf v$ a el espacio de la tangente de $f(\mathbf v)$. Es sólo que $\mathbb R^n$ es "plana", de modo que el espacio de la tangente es el mismo que el espacio para todo $\mathbf v$.

El "espacio de la tangente" en un punto de la codificación de la noción de "dirección" en el punto. Todas esas tonterías en las definiciones es un intento de asegurarse de que la tangente espacios de cerca de lugares "de acuerdo" en algún sentido. Y sí, es feo. Como otros han mencionado, se hace más fácil seguir con la noción de poleas, y cómo seguir a partir de la mayoría de las cosas que son "locales" de las propiedades.